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  • polya计数定理

    置换群:G;置换群中置换个数:|G|;
    我们喜欢用 m 阶循环这种记号来表示 置换。
    m 阶循环:相邻元素可以直接到达,第 m 个位置可以到达第 1 个位置。
    例如:5 阶循环:(1 5 2 4 3),1->5->2->4->3->1…..,3->4->2->5->1->3…..

    前置技能还有:
    共轭类格式:1^(c1) 2^(c2) … (n)^(cn),其中 cn 代表 n 阶置换的个数。
    k 不动置换类(Zk):包含 k 的置换阶为 1
    等价类(Ek):k 的轨迹
    重要定理:|Ek||Zk| = |G|

    Burnside 引理:群 G 是在这 n 个对象上用 m 种颜色进行染色后的方案集合上的置换群
    不同等价类个数:L = sum{c1(ai)} / |G|, 1 <= i <= |G|; 其中 ai 是第 i 个置换
    因为 sum{Zj} = sum{c1(ai)}, 1 <= j <= n, 1 <= i <= |G|; 其中 n 是置换对象个数
    不同等价类个数还可以等于:L = sum{Zi} / |G|, 1 <= i <= n;

    Polya 定理:群 G 是作用在 n 个对象上的置换群
    不同等价类个数:L = sum{m^c(ai)} / |G|, 1 <= i <= |G|; 其中 c(ai) 为置换 ai 的循环节数(有多少个循环),一个置换对象有 m 种不同情况

    区别和联系:
    Polya 定理的群 G 是作用在 n 个对象上的置换群,相应地,Burnside 定理中的群 G 是在这 n 个对象上用 m 种颜色进行染色后的方案集合上的置换群。
    Burnside 的 ai 和 Polya 的 ai 是不一样的,但是都是求在 ai 置换之后不变的染色方案数的和 / |G|,因为每种染色情况都重复出现了 |G| 次
    Burnside 的 ai 作用下不变的图像 正好是对应着 Polya 的 ai 的循环节中的对象染以相同的颜色所得到的图像,所以 c1(ai) = m^c(ai)

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lcsdsg/p/14352801.html
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