第五章 矩阵变换
一：为什么使用4×4矩阵？
在3D中进行编程时，使用的是4×4矩阵来进行矩阵变换。初学者往往认为既然是三维空间，为何不使用3×3的矩阵来表示呢？这是因为3×3的矩阵不能表示有些变换，比如比如*移、投影、反射，因此，增大到4×4，这样，就可以描述更多的变换了。但是矩阵变成了4×4，为了做向量与矩阵的相乘，所以需要把向量增加为1×4，因为1×3的行矩阵和4×4的矩阵是无法相乘的；
那么，如何使用第四个成员（用w来表示）呢？当把一个点放置到一个1×4的行矩阵中时，设置w=1,表示可以对点进行适当的*移,如果w=0,表示不可以对向量进行*移。比如：把点p = (1, 2, 3)放置到一个行向量中就象这样[1, 2, 3, 1]，同样把向量v = (21, 32, 33) 放置到一个行向量中就象这样[21, 32, 33, 0]；
二、矩阵*移
对图形进行*行移动是最基本的操作：
使用下面的矩阵可以把向量(x, y, z, 1)沿x轴移动px个单位，沿y轴移动py个单位，沿z轴移动pz个单位：
以下代码为设置一个向量，对它应用一个*移变换后，得到新的向量，完整的代码参见程序：
private void button1_Click(object sender, System.EventArgs e)
{
Clear();
//定义一个测试的向量；
Vector3 myVect=new Vector3(3,6,8);
//用此向量来保存后来的结果；
Vector4 resultVect =new Vector4();
//生成一个*移矩阵，XYZ方向均增加4个单位
Matrix MatrixA=Matrix.Translation(4,4,4);
//对向量应用*移变换；
resultVect=Vector3.Transform(myVect,MatrixA);
//将返回的向量显示出来；
label9.Text =resultVect.ToString();
//将矩阵也显示出来；
DisplayMatrix(MatrixA,label1);
}
程序执行结果，执行程序，点击按钮，执行结果如下：
下面应用一个具体的实例：
1：新建一个工程，生成一个XOZ水*面（代码略）：
2：定义二个Mesh对象：Mesh mesh1=null，mesh2=null;
3：在图形的初始化函数中对它进行实例化，在这里是生成两个半径一样大小的小球：
public bool InitializeGraphics()
{
……
mesh1=Mesh.Sphere(device,0.5f,20,20);
mesh2=Mesh.Sphere(device,0.5f,20,20);
…….
…….
}
4:在渲染场景函数里：一个小球进行*移变换，另一个则不进行任何变换：
private void Render()
{
if (device == null)
return;
device.Clear(ClearFlags.Target, System.Drawing.Color.Black , 1.0f, 0);
SetupCamera();
device.BeginScene();
displayPlane();
device.Transform.World=Matrix.Translation(10,0,0);
mesh1.DrawSubset(0);
device.Transform.World=Matrix.Identity;
mesh2.DrawSubset(0);
device.EndScene();
device.Present();
}
程序执行结果如下：
三、矩阵旋转
如果对一个图形绕一个固定点或一条线进行旋转，结果示意如下：
图9
下面的矩阵把一个向量围绕x,y 和z轴旋转一个角度。注意这里应当为弧度值， 当俯视绕轴原点时，角度是指顺时针方向的角度。
示例一：
下面测试一向量应用旋转变换后的结果：
private void button2_Click(object sender, System.EventArgs e)
{
Clear();
Vector3 myVect=new Vector3(3,6,8);
Vector4 resultVect =new Vector4();
Matrix MatrixA=Matrix.RotationX((float)Math.PI/2);
resultVect=Vector3.Transform(myVect,MatrixA);
label9.Text =resultVect.ToString();
DisplayMatrix(MatrixA,label1);
}
在这里，我们是让此向量绕X轴旋转90度，可以想像成直线OA绕X轴旋转90度，得到直线OB，B点值即为所求向量值；
执行结果如下：
示例二：
下面应用一个具体的实例：
1：新建一个工程，生成一个XOZ水*面（代码略）：
2：定义二个Mesh对象：Mesh mesh1=null，mesh2=null;
3：在图形的初始化函数中对它进行实例化，在这里是生成两个长方体：
public bool InitializeGraphics()
{
……
mesh1=Mesh.Box(device,0.5f,0.5f,16);
mesh2=Mesh.Box(device,0.5f,0.5f,16);
……
}
4:在渲染场景函数里：对一个长方体绕X轴旋转45度，另一个长方体则在原点绘出：
private void Render()
{
……
device.Transform.World=Matrix.RotationX((float)Math.PI/4);
mesh1.DrawSubset(0);
device.Transform.World=Matrix.Identity;
mesh2.DrawSubset(0);
……
}
程序执行结果如下：
以上介绍的是绕X轴旋转，绕Y，Z轴旋转类似，矩阵是：
四、矩阵缩放
对物体进行缩放的示意图如下：
下面的矩阵即为把向量沿x轴缩放qx个单位，沿y轴缩放qy个单位，沿z轴缩放qz个单位：
注意，如果在每个方向上的值大于1为放大，小于1则为缩小；
示例一：
private void button3_Click_1(object sender, System.EventArgs e)
{
Clear();
Vector3 myVect=new Vector3(3,6,8);
Vector4 resultVect =new Vector4();
Matrix MatrixA=Matrix.Scaling(2,0.5f,0.5F);
resultVect=Vector3.Transform(myVect,MatrixA);
label9.Text =resultVect.ToString();
DisplayMatrix(MatrixA,label1);
}
代码中，将向量X方向扩大为2倍，Y和Z方向分别缩小为2倍；
得到结果向量值为：
示例二：
以下代码将前面创建的两个长方体其中一个应用缩放变换，其中在X，Y方向上放大为原来的2倍，Z方向上缩小为原来的2倍，相关代码如下：
…… device.Transform.World=Matrix.Scaling(2,2,0.5f)*Matrix.RotationX((float)Math.PI/4);
mesh1.DrawSubset(0);
device.Transform.World=Matrix.Identity;
mesh2.DrawSubset(0);
……
程序执行结果如下：
五、组合变换
一般情况下，需要对向量进行一系列的变换。比如，前面显示的长方体，为了不使两者叠在一起，先进行了缩放，再进行了旋转，其实还可以再应用其它变换，比如*移；
假设把向量p = [5, 0, 0, 1] 在所有轴上缩小为原来的1/5，然后沿着y轴旋转π/4，最后把它在x轴上移动1个单位，在y轴上移动2个单位，在z轴上移动3个单位。
设缩放、旋转、移动的变换矩阵分别是S, Ry, T，如下：
因此：
这样就得到了最后的结果，另一种简便的方法是通过使用矩阵相乘把3个变换矩阵合成一个矩阵。注意次序不要颠倒，否则结果会不一样。
那么 pQ = [1.707, 2, –3.707, 1]。
和第一种方法得到的结果是一样的；
六、其它常用变换
有两个矩阵，常常用来设置场影及摄像机：
1：device.Transform.Projection用来获取或者设置投影变换矩阵，它本身也是一个Matrix型的变量。
2：Matrix.PerspectiveFovLH方法：
public static Matrix PerspectiveFovLH(
float fieldOfViewY, //Y方向的视觉范围，弧度表示，即Y方向的视域角
float aspectRatio, //视觉范围的长宽比
float znearPlane, //*裁剪*面
float zfarPlane//远裁剪*面
);
定义长宽比的作用是，如果用户改变了窗口的大小，那么仍然就可以正确的显示物体的大小。最后两个参数是远及*裁剪*面，必须为这两个*面指定2个Z值，一般来说，假设物体将在Z轴的1.0f和1000f之间运动时，就分别把这两个参数设为1.0f，1000.0f。
3：Matrix.LookAtLH方法。 在使用观察矩阵来建立一个立体的照相机模型后，需要设置不同的观察点，可以使用这种方法来设置相机。
public static Matrix LookAtLH(
Vector3 cameraPosition,//相机位置
Vector3 cameraTarget, //相机的方向
Vector3 cameraUpVector //相机的Up向量
);
其中第二个参数为相机的面对方向，假设相机面对的是Z轴的方向，那么就设置为(0,0,1)。