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  • ZROJ 1267 我要打数论

    ZROJ 1267 我要打数论

    这个题目来源是一个同学开麦对线,说我要打麻将我要打扑克

    应clb要求题目不能直接放出来,但是真的感觉太棒了学到许多所以总结一下

    分析一波,取min可以转化

    [sum^n_{i=1}sum^n_{j=1}min(n,lcm(i,j)+gcd(i,j)) ]

    [=sum_k^nsum^n_{i=1}sum^n_{j=1}[kleq lcm(i,j)+gcd(i,j)] ]

    这是一种常见的min转换方法(我并不知道

    继续转化,

    [=sum_k^n n^2-sum^n_{i=1}sum^n_{j=1}[k> lcm(i,j)+gcd(i,j)] ]

    [=sum_k^n n^2-sum^{k}_{i=1}sum^{k}_{j=1}[k> lcm(i,j)+gcd(i,j)] ]

    大于有更好的性质,后面的式子上界为k-1,后面就只和k有关了,令其为(F(n)),即

    [F(n)=sum_isum_j [n>lcm(i,j)+gcd(i,j)] ]

    考虑一个差分,(G(n)=F(n+1)-F(n)),小于n+1又大于等于n,只能等于n

    [G(n)=sum_isum_j [lcm(i,j)+gcd(i,j)=n] ]

    考虑枚举(d=gcd(i,j))

    [=sum_g^n sum_i^{leftlfloorfrac{n}{g} ight floor}sum_j^{leftlfloorfrac{n}{g} ight floor}[ijg+g=n][gcd(i,j)=1] ]

    因为(n=ijg+g),则有解的话(g|n),所以

    [=sum_{g|n} sum_i^{leftlfloorfrac{n}{g} ight floor}sum_j^{leftlfloorfrac{n}{g} ight floor}[ijg+g=n][gcd(i,j)=1] ]

    其中(ijg+g=n),则 (i=frac{frac{n}{g}-1} j) ,枚举i,式子就变成了

    [=sum_{g|n} sum_{i|frac{n}{g}-1}[gcd(i,frac{frac{n}{g}-1} i)=1] ]

    发现式子只和(frac n g -1)有关了,则令(H(n)=sum_{i|n} [gcd(i,n/i)=1]) (禁止套娃!

    这个东西就等于(2^{w(n)}),因为每种因子都要取完,就可以当成01分析

    然后就做完了。。。总复杂度(O(T+nlog n))

    代码就不贴了

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