金华3.19

金华3.19

博弈论

ICG：公平组合游戏，有先手必胜/后手必胜，其满足：

1. 有两个玩家，游戏对两个玩家是公平的
2. 游戏状态有限
3. 一个玩家不能行动时游戏结束

满足这些情况时可以使用SG函数解决，一个状态的SG值等于他能到达的状态的SG的mex，多个游戏的SG值等于其异或和。当且仅当SG为0先手必败，否则先手必胜。

ZROI1743 取石子

n堆石子，每个人可以取a~b个石子，无法操作的人失败。此外，当一个人取完一堆石子时他会立即获胜。

这题有个条件：取完一堆石子时他会立即获胜，那它就不是个ICG，无法使用SG函数来做。我们考虑判掉有 (|x_i|in[a,b]) 的情况（此时先手必胜），否则把 ([a,b]) 设为不可到达的情况，因为按照最优策略来说没有人会把石子数操作到 ([a,b])，除非没有其他可以操作的堆，这时就相当于不能行动时游戏结束了。那么它就变成了一个ICG，可以打表找出SG的规律。

ZROI1745 序列

(f[x][i])：填满i个数，第一个是x，然后dp优化。

ZROI1745 树

直接边分治+莫比乌斯反演是(qnd(n)+nd(n)log n)的，出题人卡了波常数不能过，有几个小技巧：

1. 注意到 (mu=0) 没有贡献，我们可以把因数个数优化到(2^c)，(c) 是质因子个数
2. 考虑询问的时候换一种统计答案的方式。注意到修改的边一定有边权，那么gcd一定只有(2^c)种，可以FWT。

于是最后复杂度是(n2^clog n+q(n+c2^c))