详细讲解【拓展欧几里得】

exgcd（拓展欧几里得）

1.回顾辗转相除法求最大公倍数： 

（辗转相除法和下面所讲到的算法里面的m和n没什么关系可正可负 更没有大小关系的区分）

  代码：

#include<stdio.h>
int gcd(int a,int b)
{
    int temp;   
    if(b==0){
        return a;  // b=0 满足关系跳出循环，此时a的值就是最大公约数
    }
    return gcd(b,a%b);

}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    printf("%d
",gcd(a,b));
    return 0;
}

2.exgcd：

a.求二元一次方程的一组特解：

原理：

•ax+by=gcd(a,b)

•∵ gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

•∴ ax1+by1 = bx2+(a%b)y2   //可以知道 a在被替换成了b，b被替换成了a%b 

•则 ax1+by1 = bx2+(a-a/b*b)y2

•∴ ax1+by1 = ay2+b(x2-a/b*y2)

•∴ x1=y2 y1=(x2-a/b*y2)   //这一步的x等于上一步的y，y等于(x2-a/b*y2)  x2 y2 代表上一步的x和y

•当b==0时，ax+by = gcd(a,b) = a

•∴ x=1 , y=0;

代码：

#include<stdio.h>
int GCD;
int gcd(int a,int b,int &x,int &y)  //&x 类似于指针在c++函数调用中可以将x的值改变
{
    if(!b){               ②
        x=1;y=0;return a;       
    }                             //调用的函数运行顺序
    GCD=gcd(b,a%b,y,x);   ①       //调用函数时的&不能加，错误不太容易发现  
    y-=a/b*x;             3 4 ...
    return GCD;                //最后返回的GCD的含义其实就是a和b的最大公约数
}
int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    GCD=gcd(a,b,x,y);          
    printf("%d %d %d",x,y,GCD);
    return 0;
}

 b.求通解：

•ax + by = gcd(a,b)  的解集

•首先可以肯定它一定有解且解的数量无限

•我们可以找出式子可以加减的最小元 即最小公倍数lcm

•若x +- b/gcd y-+ a/gcd 则等式依然成立            //如果x后为+ 则y后为-

•便可得知解集

c.判断ax+by=c是否有解:

        只要c为gcd（a，b）的倍数，就有无数组结

例： 38x+8y=gcd(38,8)=2;               ①

        如果此时c=6 即：38x+8y=6； ②

  计算②式特解的方法：  先算出①式的特解 然后将x和y同时乘于6 / gcd（38，8）就能得到一组特解；

d.求最小整数解：

                   //用于解决ax+by=c类的求最小整数解  
GCD=exgcd(a,b);
x=c/GCD;           //如果非上面的类型而直接是=gcd(a,b) 可将这一步去掉即可
t=b/GCD:
if(t<0){
    t=-t;          //防止b/GCD为负数
}
x=(x%t+t)%t;

e.综合例题：青蛙的约会（点击）

                     题解（点击）