对称多项式的一些结论

目录

• 定义
• 一些（特殊的）例子
• 对称多项式基本定理
• 一些有趣的结论
  • 结论1
  • 结论2
  • 结论3

定义

数学中的对称多项式是一种特殊的多元多项式。
如果一个 n 元多项式 ( ext P(x_1,x_2,...,x_n)) ，对任意的 n 元置换 (sigma)，都有 ( ext P(x_{sigma_1}, x_{sigma_2}, ..., x_{sigma_n})= ext P(x_1,x_2, ...,x_n)) ，就说 ( ext P) 是对称多项式。

一些（特殊的）例子

范德蒙德矩阵的行列式值： (prodlimits_{1le i<jle n}(x_j-x_i)) ，顺便说一句这个东西也是多项式 (prodlimits_{i=1}^n(x-x_i)) 的判别式
等幂对称式： (p_k(x_1,x_2,...,x_n)=sumlimits_{i=1}^nx_i^k)
初等对称式： (e_k(x_1,x_2,...,x_n)=sumlimits_{Ssubseteq{1,2,...,n},|S|=k}prodlimits_{iin S}x_i,1le kle n) ，当 (k>n) 时 (e_k(x_1,x_2,...,x_n)=0) ，当 (k=0) 时， (e_k=1)
完全齐次对称式： (h_k(x_1,x_2,...,x_n)=sumlimits_{1le i_1le i_2lecdotsle i_kle n}x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k})，当 (k=0) 时， (h_k=1)

对称多项式基本定理

一个 n 元多项式 F 是一些 n 元初等对称式的代数组合，当且仅当 F 是对称多项式
该定理的直接推论： 将首一多项式的 n 个根带入一个对称多项式，等于将原多项式的各项系数带入某个多项式

一些有趣的结论

由于讨论的 n 个变元都一样，以下把等幂对称式，初等对称式，完全初等对称式的第 (k) 项分别简称为 (p_k,e_k,h_k)
令 (P(x)=sumlimits_{i=0}^{+infty}p_ix^i,E_0(x)=sumlimits_{i=0}^{+infty}e_ix^i,H(x)=sumlimits_{i=0}^{+infty}h_ix^i,E(x)=E_0(-x))

结论1

(E*H=1)
证明：
显然有 (H(x)=prodlimits_{i=1}^{n}frac1{1-x_ix}) 和 (F(x)=prodlimits_{i=1}^n(x-x_i)=sumlimits_{i=0}^{+infty}(-1)^ie_ix^{n-i})
那么 (x^nF(frac1x)=prodlimits_{i=1}^n(1-x_ix)=sumlimits_{i=0}^{+infty}(-1)^ie_ix^i=E(x))
于是 (E*H=1)
得证

结论2

[egin{aligned} e_k(1,2,...,n)=&S1_{n+1}^{n+1-k}\ h_k(1,2,...,n)=&S2_{n+k}^{n} end{aligned} ]

将生成函数进行比对即可证明

结论3

(forall n,kge1,ke_k=sumlimits_{i=1}^k(-1)^{i-1}e_{k-i}p_i)
可以用数学归纳法证明，从一元推到n元的形式
或者我们冷静一下，考虑等幂和的推导方式，由于 (P(x)=sumlimits_{i=1}^nfrac1{1-a_ix}) ，且 (frac1{1-a_ix}=1-x(ln(1-a_ix))') ，于是能够推出 (P(x)=n-x(ln(prodlimits_{i=1}^n(1-a_ix)))') ，即 (P(x)=n-x(ln(E(x)))') ，与结论 3 相符。

同时可以得到的结论是 (E(x)=frac1{e^{intfrac{P(x)-n}x ext dx}},P(x)=n+xln(H(x)),H(x)=e^{intfrac{P(x)-n}x ext dx}) ，说不定就能用上
比如说给你一个 (P(x)) ，让你还原所有的 (a_i) ，那么我们可以求出 (E(x)) ，然后求出 (E(x)) 所有根.