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  • 对称多项式的一些结论

    定义

    数学中的对称多项式是一种特殊的多元多项式。
    如果一个 n 元多项式 ( ext P(x_1,x_2,...,x_n)) ,对任意的 n 元置换 (sigma),都有 ( ext P(x_{sigma_1}, x_{sigma_2}, ..., x_{sigma_n})= ext P(x_1,x_2, ...,x_n)) ,就说 ( ext P) 是对称多项式。

    一些(特殊的)例子

    范德蒙德矩阵的行列式值: (prodlimits_{1le i<jle n}(x_j-x_i)) ,顺便说一句这个东西也是多项式 (prodlimits_{i=1}^n(x-x_i)) 的判别式
    等幂对称式: (p_k(x_1,x_2,...,x_n)=sumlimits_{i=1}^nx_i^k)
    初等对称式: (e_k(x_1,x_2,...,x_n)=sumlimits_{Ssubseteq{1,2,...,n},|S|=k}prodlimits_{iin S}x_i,1le kle n) ,当 (k>n)(e_k(x_1,x_2,...,x_n)=0) ,当 (k=0) 时, (e_k=1)
    完全齐次对称式: (h_k(x_1,x_2,...,x_n)=sumlimits_{1le i_1le i_2lecdotsle i_kle n}x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k}),当 (k=0) 时, (h_k=1)

    对称多项式基本定理

    一个 n 元多项式 F 是一些 n 元初等对称式的代数组合,当且仅当 F 是对称多项式
    该定理的直接推论: 将首一多项式的 n 个根带入一个对称多项式,等于将原多项式的各项系数带入某个多项式

    一些有趣的结论

    由于讨论的 n 个变元都一样,以下把等幂对称式,初等对称式,完全初等对称式的第 (k) 项分别简称为 (p_k,e_k,h_k)
    (P(x)=sumlimits_{i=0}^{+infty}p_ix^i,E_0(x)=sumlimits_{i=0}^{+infty}e_ix^i,H(x)=sumlimits_{i=0}^{+infty}h_ix^i,E(x)=E_0(-x))

    结论1

    (E*H=1)
    证明:
    显然有 (H(x)=prodlimits_{i=1}^{n}frac1{1-x_ix})(F(x)=prodlimits_{i=1}^n(x-x_i)=sumlimits_{i=0}^{+infty}(-1)^ie_ix^{n-i})
    那么 (x^nF(frac1x)=prodlimits_{i=1}^n(1-x_ix)=sumlimits_{i=0}^{+infty}(-1)^ie_ix^i=E(x))
    于是 (E*H=1)
    得证

    结论2

    [egin{aligned} e_k(1,2,...,n)=&S1_{n+1}^{n+1-k}\ h_k(1,2,...,n)=&S2_{n+k}^{n} end{aligned} ]

    将生成函数进行比对即可证明

    结论3

    (forall n,kge1,ke_k=sumlimits_{i=1}^k(-1)^{i-1}e_{k-i}p_i)
    可以用数学归纳法证明,从一元推到n元的形式
    或者我们冷静一下,考虑等幂和的推导方式,由于 (P(x)=sumlimits_{i=1}^nfrac1{1-a_ix}) ,且 (frac1{1-a_ix}=1-x(ln(1-a_ix))') ,于是能够推出 (P(x)=n-x(ln(prodlimits_{i=1}^n(1-a_ix)))') ,即 (P(x)=n-x(ln(E(x)))') ,与结论 3 相符。

    同时可以得到的结论是 (E(x)=frac1{e^{intfrac{P(x)-n}x ext dx}},P(x)=n+xln(H(x)),H(x)=e^{intfrac{P(x)-n}x ext dx})说不定就能用上
    比如说给你一个 (P(x)) ,让你还原所有的 (a_i) ,那么我们可以求出 (E(x)) ,然后求出 (E(x)) 所有根.

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