CF1304E 1-Trees and Queries

E. 1-Trees and Queries

原题

Problem Restatement

给出一个(n)个节点的树，每次询问，连结(x)与(y)节点，问(a)到(b)节点是否存在一条路径，使得长度为(k)（点和边 可重复走）。

(( 3 le n le 10^5, 1 le q le 10^5))

Solution

如果没连结(x)和(y)节点，则(a)到(b)之间的最短路是唯一的，而且由于树没有环，所以在最短路的基础上，只能两个节点之间来回“蹭”（蹭就是走到终点之后，与相邻两个点来回走），所以如果求的最短路为( ext{dist}(a,b))，那么唯有当( ext{dist}(a,b)leq k)，而且(2|k- ext{dist}(a,b))时，才可以成立。

考虑到目前连结了(x,y)，还是考虑(a)到(b)的最短路。我们可以分出3种情况。

1、不经过( ext {edge}(x,y))的最短路。即( ext{dist}(a,b))。

2、先从(a)到(x)，经过( ext {edge}(x,y))，然后从(y)到(b)。即( ext{dist}(a,x)+1+ ext{dist}(y,b))。

3、先从(b)到(x)，经过( ext {edge}(x,y))，然后从(y)到(a)。即( ext{dist}(b,x)+1+ ext{dist}(y,a))。

可以证明最短路一定在这三种情况之中，而且任何的路都是从这三条路之后重复“蹭”出去的。

（这里证明我没有想到简易证明，倒是可以通过分类讨论( ext {edge}(x,y))的位置，比较繁琐。另，证明中其实成环之和的讨论比较特别，要用到奇偶分析。这里留给读者当课后习题。）

总之，如果不能被这三种情况“蹭”出来，那么就是无法构造的。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 100005
#define MAXLN 20
using namespace std;

struct edge{
	int to,next;
}e[MAXN<<1];

int tot,head[MAXN];

void add(int x,int y){
	tot++;
	e[tot].to=y;
	e[tot].next=head[x];
	head[x]=tot;
}

int dep[MAXN],lgd[MAXN],st[MAXN][MAXLN];

void dfs(int cur,int fa){
	dep[cur]=dep[fa]+1;
	st[cur][0]=fa;
	for(lgd[cur]=1;(1<<lgd[cur])<=dep[cur];lgd[cur]++)
		st[cur][lgd[cur]]=st[st[cur][lgd[cur]-1]][lgd[cur]-1];

	for(int p=head[cur];p;p=e[p].next){
		if(e[p].to==fa) continue;
		dfs(e[p].to,cur);
	}
}

int lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=0;dep[x]-dep[y];i++)
		if((dep[x]-dep[y])&(1<<i)) x=st[x][i];
	if(x==y) return x;

	for(int i=lgd[x];i>=0;i--)
		if(st[x][i]!=st[y][i])
			x=st[x][i], y=st[y][i];
	return st[x][0];
}

void solve(){
	int n,q;
	scanf("%d", &n);
	tot=0;
	memset(head+1,0,n*sizeof(head[0]));
	for(int i=1;i<n;i++){
		int f,g;
		scanf("%d %d", &f, &g);
		add(f,g);
		add(g,f);
	}
	dep[0]=0;
	dfs(1,0);
	scanf("%d", &q);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int x,y,a,b,k,ax,ay,ab,bx,by;
		scanf("%d %d %d %d %d", &x, &y, &a, &b, &k);
		ab=dep[a]+dep[b]-2*dep[lca(a,b)];
		if(ab<=k && ((ab-k)&1)==0){
			printf("YES
");
			continue;
		}
		ax=dep[a]+dep[x]-2*dep[lca(a,x)];
		by=dep[b]+dep[y]-2*dep[lca(b,y)];
		if(ax+by+1<=k && ((ax+by+1-k)&1)==0){
			printf("YES
");
			continue;
		}
		ay=dep[a]+dep[y]-2*dep[lca(a,y)];
		bx=dep[b]+dep[x]-2*dep[lca(b,x)];
		if(ay+bx+1<=k && ((ay+bx+1-k)&1)==0){
			printf("YES
");
			continue;
		}
		printf("NO
");
	}
}

int main(){
	int T=1;
	// scanf("%d", &T);
	while(T--){
		solve();
	}
	return 0;
}