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  • Deep Learning1:Sparse Autoencoder

    学习stanford的课程http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/UFLDL_Tutorial 一个月以来，对算法一知半解，Exercise也基本上是复制别人代码，现在想总结一下相关内容

    1. Autoencoders and Sparsity

    稀释编码：Sparsity parameter

    隐藏层的平均激活参数为 extstyle ho

    egin{align} hat ho_j = frac{1}{m} sum_{i=1}^m left[ a^{(2)}_j(x^{(i)}) ight] end{align}

    约束为

    egin{align} hat ho_j = ho, end{align}

    为实现这个目标，在cost Function上额外加上一项惩罚系数

    egin{align} sum_{j=1}^{s_2} ho log frac{ ho}{hat ho_j} + (1- ho) log frac{1- ho}{1-hat ho_j}. end{align}

    当egin{align} hat ho_j = ho, end{align}此项达到最小值

    此时cost Function

    egin{align} J_{ m sparse}(W,b) = J(W,b) + eta sum_{j=1}^{s_2} { m KL}( ho || hat ho_j), end{align}

    同时为了方便编程，将隐藏层时的后向传播参数也增加一项

    egin{align} delta^{(2)}_i = left( left( sum_{j=1}^{s_{2}} W^{(2)}_{ji} delta^{(3)}_j ight) + eta left( - frac{ ho}{hat ho_i} + frac{1- ho}{1-hat ho_i} ight) ight) f'(z^{(2)}_i) . end{align}

    为了得到Sparsity parameter，先对所有训练数据进行前向步骤，从而得到激活参数，再次前向步骤，进行反向传播调参，也就是要对所有训练数据进行两次的前向步骤

    2.Backpropagation Algorithm

    在计算过程中，简化了计算步骤
    对于训练集{ (x^{(1)}, y^{(1)}), ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) }，cost Function如下

    egin{align} J(W,b; x,y) = frac{1}{2} left| h_{W,b}(x) - y ight|^2. end{align}

    仅含方差项

    egin{align} J(W,b) &= left[ frac{1}{m} sum_{i=1}^m J(W,b;x^{(i)},y^{(i)}) ight] + frac{lambda}{2} sum_{l=1}^{n_l-1} ; sum_{i=1}^{s_l} ; sum_{j=1}^{s_{l+1}} left( W^{(l)}_{ji} ight)^2 \ &= left[ frac{1}{m} sum_{i=1}^m left( frac{1}{2} left| h_{W,b}(x^{(i)}) - y^{(i)} ight|^2 ight) ight] + frac{lambda}{2} sum_{l=1}^{n_l-1} ; sum_{i=1}^{s_l} ; sum_{j=1}^{s_{l+1}} left( W^{(l)}_{ji} ight)^2 end{align}

    第一部分是方差，第二部分是规范化项，也称为weight decay项，此公式为overall cost function

    参数W,b的迭代公式如下

    egin{align} W_{ij}^{(l)} &= W_{ij}^{(l)} - alpha frac{partial}{partial W_{ij}^{(l)}} J(W,b) \ b_{i}^{(l)} &= b_{i}^{(l)} - alpha frac{partial}{partial b_{i}^{(l)}} J(W,b) end{align}

    α为学习率

    那么，backpropagation algorithm在参数计算中极大提高了效率

    目的：梯度下降法，迭代多次，得到优化参数

    每次迭代都计算cost function和gradient，再进行下一次迭代

    BP 前向传播后，定义误差项1.输出层是对cost function 对输出结果求导2.中间层 下一层误差项与网络系数相乘，实现逆向推导

    cost function分别对W,b求导如下

    egin{align} frac{partial}{partial W_{ij}^{(l)}} J(W,b) &= left[ frac{1}{m} sum_{i=1}^m frac{partial}{partial W_{ij}^{(l)}} J(W,b; x^{(i)}, y^{(i)}) ight] + lambda W_{ij}^{(l)} \ frac{partial}{partial b_{i}^{(l)}} J(W,b) &= frac{1}{m}sum_{i=1}^m frac{partial}{partial b_{i}^{(l)}} J(W,b; x^{(i)}, y^{(i)}) end{align}

    首先，对训练对象进行前向网络激活运算，得到网络输入值hW,b(x)

    接着，对网络层l 中每一个节点i ,计算误差项delta^{(l)}_i，衡量该节点对于输出的误差所占权重，可用网络激活输出值与真实目标值之差来定义delta^{(n_l)}_i，nl 是输出层，对于隐藏层，则用a^{(l)}_i作为输出的误差项的权重比来定义delta^{(l)}_i

    算法步骤如下

      • Perform a feedforward pass, computing the activations for layers L2, L3, and so on up to the output layer L_{n_l}.
      • For each output unit i in layer nl (the output layer), set
        egin{align} delta^{(n_l)}_i = frac{partial}{partial z^{(n_l)}_i} ;; frac{1}{2} left|y - h_{W,b}(x) ight|^2 = - (y_i - a^{(n_l)}_i) cdot f'(z^{(n_l)}_i) end{align}
      • For l = n_l-1, n_l-2, n_l-3, ldots, 2
        For each node i in layer l, set
        delta^{(l)}_i = left( sum_{j=1}^{s_{l+1}} W^{(l)}_{ji} delta^{(l+1)}_j ight) f'(z^{(l)}_i)
      • Compute the desired partial derivatives, which are given as:
        egin{align} frac{partial}{partial W_{ij}^{(l)}} J(W,b; x, y) &= a^{(l)}_j delta_i^{(l+1)} \ frac{partial}{partial b_{i}^{(l)}} J(W,b; x, y) &= delta_i^{(l+1)}. end{align}

     对于矩阵，在MATLAB中如下

      • Perform a feedforward pass, computing the activations for layers  extstyle L_2,  extstyle L_3, up to the output layer  extstyle L_{n_l}, using the equations defining the forward propagation steps
      • For the output layer (layer  extstyle n_l), set
        egin{align} delta^{(n_l)} = - (y - a^{(n_l)}) ullet f'(z^{(n_l)}) end{align}
      • For  extstyle l = n_l-1, n_l-2, n_l-3, ldots, 2
        Set
        egin{align} delta^{(l)} = left((W^{(l)})^T delta^{(l+1)} ight) ullet f'(z^{(l)}) end{align}
      • Compute the desired partial derivatives:
        egin{align} abla_{W^{(l)}} J(W,b;x,y) &= delta^{(l+1)} (a^{(l)})^T, \ abla_{b^{(l)}} J(W,b;x,y) &= delta^{(l+1)}. end{align}

     注： extstyle f(z)为sigmoid函数，则 extstyle f'(z^{(l)}_i) = a^{(l)}_i (1- a^{(l)}_i)

    在此基础上，梯度下降算法gradient descent algorithm步骤如下

      • Set  extstyle Delta W^{(l)} := 0,  extstyle Delta b^{(l)} := 0 (matrix/vector of zeros) for all  extstyle l.
      • For  extstyle i = 1 to  extstyle m,
        1. Use backpropagation to compute  extstyle abla_{W^{(l)}} J(W,b;x,y) and  extstyle abla_{b^{(l)}} J(W,b;x,y).
        2. Set  extstyle Delta W^{(l)} := Delta W^{(l)} + abla_{W^{(l)}} J(W,b;x,y).
        3. Set  extstyle Delta b^{(l)} := Delta b^{(l)} + abla_{b^{(l)}} J(W,b;x,y).
      • Update the parameters:
        egin{align} W^{(l)} &= W^{(l)} - alpha left[ left(frac{1}{m} Delta W^{(l)} ight) + lambda W^{(l)} ight] \ b^{(l)} &= b^{(l)} - alpha left[frac{1}{m} Delta b^{(l)} ight] end{align}

    3.Visualizing a Trained Autoencoder

    用pixel intensity values可视化编码器

    已知输出egin{align} a^{(2)}_i = fleft(sum_{j=1}^{100} W^{(1)}_{ij} x_j + b^{(1)}_i ight). end{align}

    约束 extstyle ||x||^2 = sum_{i=1}^{100} x_i^2 leq 1

    定义pixel  extstyle x_j (for all 100 pixels,  extstyle j=1,ldots, 100)

    egin{align} x_j = frac{W^{(1)}_{ij}}{sqrt{sum_{j=1}^{100} (W^{(1)}_{ij})^2}}. end{align}
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  • 原文地址：https://www.cnblogs.com/learnmuch/p/5956888.html
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