康托展开

有一个关于排列问题的神奇的公式，康托展开

维基百科是这样描述的：

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

以下称第x个全排列是都是指由小到大的顺序。

这可以用来求一个排列是全排列中的第几个排列...

关于公式的话，我觉得这个大佬写得非常棒，可以往这边看 ACdreamer

按照我个人的理解是，an表示的是第n个数（从最后一个数字开始从1数）的前面有几个比它小的数字，（n-1）！表示的是（当前的数的位数-1，从1开始数位数）的阶乘。

贴个例题

标题： 排列序数

X星系的某次考古活动发现了史前智能痕迹。
这是一些用来计数的符号，经过分析它的计数规律如下：
（为了表示方便，我们把这些奇怪的符号用a~q代替）

abcdefghijklmnopq 表示0
abcdefghijklmnoqp 表示1
abcdefghijklmnpoq 表示2
abcdefghijklmnpqo 表示3
abcdefghijklmnqop 表示4
abcdefghijklmnqpo 表示5
abcdefghijklmonpq 表示6
abcdefghijklmonqp 表示7
.....

在一处石头上刻的符号是：
bckfqlajhemgiodnp

请你计算出它表示的数字是多少？

 这就是计算第几个全排列，如果不知道这个康托展开的话就很难做了...还是要多做题目 才能拓宽知识面...

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long a[17];

int main(){
    a[0]=1;
    a[1]=1;
    for(int i=2; i<17; i++){
        a[i]=a[i-1]*i;
    }
    long long sum=0;
    string s="bckfqlajhemgiodnp";
    for(int i=0; i<17; i++){
        int tmp=0;
        for(int j=i+1; j<17; j++)
            if(s[j]<s[i]) tmp++;
        sum+=a[16-i]*tmp;
    }
    cout<<sum<<endl;
    
    return 0;
}

这个还有一个逆运用，就是已知一个数的第几个排列，让你去求这个数是什么...

维基百科是这样描述的：

既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

如n=5,x=96时：

首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去！)
用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.
用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.
用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.
用1去除1!得到1余0，这一位是2.
最后一位只能是1.
所以这个数是45321.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    long long p[16];
    p[0]=p[1]=1;
    for(int i=2; i<16; i++)
        p[i]=p[i-1]*i;

    int n, m, tmp;
    cin>>n>>m;
    tmp=n;
    vector<int>a;
    vector<int>v;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        a.push_back(i);
    }
    m--;
    int t, r;
    for(int i=n; i>=1; i--){
        t=m/p[i-1];
        m=m%p[i-1];
        v.push_back(a[t]);
        a.erase(a.begin()+t);
        sort(a.begin(), a.end());
    }
    vector<int>::iterator it;
    for(it=v.begin(); it!=v.end(); it++){
        cout<<*it;
    }
    cout<<endl;
    
    return 0;
}