回溯法—子集树与排列树

    回溯法有“通用解题法”之称。用它可以系统地搜索问题的所有解。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法。

    在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

 

1.回溯法的解题步骤

(1)针对所给问题，定义问题的解空间；

(2)确定易于搜索的解空间结构；

(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

 

2.子集树与排列树

下面的两棵解空间树是回溯法解题时常遇到的两类典型的解空间树。

(1)当所给问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。例如从n个物品的0-1背包问题(如下图)所相应的解空间树是一棵子集树，这类子集树通常有2^n个叶结点，其结点总个数为2^(n+1)-1。遍历子集树的算法需Ω(2^n)计算时间。

(2)当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。例如旅行售货员问题(如下图)的解空间树是一棵排列树，这类排列树通常有n!个叶结点。遍历子集树的算法需Ω(n!)计算时间。

用回溯法搜索子集树的一般算法可描述为：

	/**
	 * output(x)     记录或输出得到的可行解x
	 * constraint(t) 当前结点的约束函数
	 * bount(t)      当前结点的限界函数
	 * @param t  t为当前解空间的层数
	 */
	void backtrack(int t){
		if(t >= n)
			output(x);
		else
			for (int i = 0; i <= 1; i++) {
				x[t] = i;
				if(constraint(t) && bount(t))
					backtrack(t+1);
			}
	}

用回溯法搜索排列树的一般算法可描述为：

	/**
	 * output(x)     记录或输出得到的可行解x
	 * constraint(t) 当前结点的约束函数
	 * bount(t)      当前结点的限界函数
	 * @param t  t为当前解空间的层数
	 */
	void backtrack(int t){
		if(t >= n)
			output(x);
		else
			for (int i = t; i <= n; i++) {
				swap(x[t], x[i]);
				if(constraint(t) && bount(t))
					backtrack(t+1);
				swap(x[t], x[i]);
			}
	}

3.回溯法的应用例子

(a)子集树

（为了便于描述算法，下列方法使用了较多的全局变量）

I.输出集合S中所有的子集，即limit为all；

II.输出集合S中限定元素数量的子集，即limit为num；

III.输出集合S中元素奇偶性相同的子集，即limit为sp。

public class Subset {
		
	private static int[] s = {1,2,3,4,5,6,7,8};
	private static int n = s.length;
	private static int[] x = new int[n];
	
	/**
	 * 输出集合的子集
	 * @param limit  决定选出特定条件的子集
	 * 注：all为所有子集,num为限定元素数量的子集,
	 *    sp为限定元素奇偶性相同，且和小于8。
	 */
	public static void all_subset(String limit){
		switch(limit){
		case "all":backtrack(0);break;
		case "num":backtrack1(0);break;
		case "sp":backtrack2(0);break;
		}
	}
	
 
	/**
	 * 回溯法求集合的所有子集，依次递归
	 * 注：是否回溯的条件为精髓
	 * @param t
	 */
	private static void backtrack(int t){
		if(t >= n)
			output(x);
		else
			for (int i = 0; i <= 1; i++) {
				x[t] = i;
				backtrack(t+1);
			}
		
	}
	
	/**
	 * 回溯法求集合的所有(元素个数小于4)的子集，依次递归
	 * @param t
	 */
	private static void backtrack1(int t){
		if(t >= n)
			output(x);
		else
			for (int i = 0; i <= 1; i++) {
				x[t] = i;
				if(count(x, t) < 4)
					backtrack1(t+1);
			}
		
	}
 
	/**
	 * (剪枝)
	 * 限制条件：子集元素小于4,判断0~t之间已被选中的元素个数，
	 *        因为此时t之后的元素还未被递归,即决定之后的元素
	 *        是否应该被递归调用
	 * @param x
	 * @param t
	 * @return
	 */
	private static int count(int[] x, int t) {
		int num = 0;
		for (int i = 0; i <= t; i++) {
			if(x[i] == 1){
				num++;
			}
		}
		return num;
	}
 
	/**
	 * 回溯法求集合中元素奇偶性相同，且和小于8的子集,依次递归
	 * @param t
	 */
	private static void backtrack2(int t){
		if(t >= n)
			output(x);
		else
			for (int i = 0; i <= 1; i++) {
				x[t] = i;
				if(legal(x, t))
					backtrack2(t+1);
			}
		
	}
	
	/**
	 * 对子集中元素奇偶性进行判断，还需元素的数组和小于8
	 * @param x
	 * @param t
	 * @return
	 */
	private static boolean legal(int[] x, int t) {
		boolean bRet = true;   //判断是否需要剪枝
		int part = 0;  //奇偶性判断的基准
		
		for (int i = 0; i <= t; i++) {  //选择第一个元素作为奇偶性判断的基准
			if(x[i] == 1){
				part = i;
				break;
			}
		}
		
		for (int i = 0; i <= t; i++) {
			if(x[i] == 1){
				bRet &= ((s[part] - s[i]) % 2 == 0);
			}
				
		}
 
		int sum = 0;
		for(int i = 0; i <= t; i++){
			if(x[i] == 1)
				sum += s[i];
		}
		bRet &= (sum < 8);
		    
		return bRet;
	}
 
 
	/**
	 * 子集输出函数
	 * @param x
	 */
	private static void output(int[] x) {
		for (int i = 0; i < x.length; i++) {
			if(x[i] == 1){
				System.out.print(s[i]);
			}
		}
		System.out.println();	
	}
 
}

(b) 排列树

（为了便于描述算法，下列方法使用了较多的全局变量）

I.输出集合S中所有的排列，即limit为all；

II.输出集合S中元素奇偶性相间的排列，即limit为sp。

public class Permutation {
 
	private static int[] s = {1,2,3,4,5,6,7,8};
	private static int n = s.length;
	private static int[] x = new int[n];
	
	/**
	 * 输出集合的排列
	 * @param limit  决定选出特定条件的子集
	 * 注：all为所有排列,sp为限定元素奇偶性相间。
	 */
	public static void all_permutation(String limit){
		switch(limit){
		case "all":backtrack(0);break;
		case "sp":backtrack1(0);break;
		}
	}
	
 
	/**
	 * 回溯法求集合的所有排列，依次递归
	 * 注：是否回溯的条件为精髓
	 * @param t
	 */
	private static void backtrack(int t){
		if(t >= n)
			output(s);
		else
			for (int i = t; i < n; i++) {
				swap(i, t, s);
				backtrack(t+1);
				swap(i, t, s);
			}
		
	}
 
	/**
	 * 回溯法求集合中元素奇偶性相间的排列,依次递归
	 * @param t
	 */
	private static void backtrack1(int t){
		if(t >= n)
			output(s);
		else
			for (int i = t; i < n; i++) {
				swap(i, t, s);
				if(legal(x, t))
					backtrack1(t+1);
				swap(i, t, s);
			}
		
	}
	
	/**
	 * 对子集中元素奇偶性进行判断
	 * @param x
	 * @param t
	 * @return
	 */
	private static boolean legal(int[] x, int t) {
		boolean bRet = true;   //判断是否需要剪枝
		
		//奇偶相间,即每隔一个数判断奇偶相同
		for (int i = 0; i < t - 2; i++) {
			bRet &= ((s[i+2] - s[i]) % 2 == 0);
		}
		    
		return bRet;
	}
 
 
	/**
	 * 元素交换
	 * @param i
	 * @param j
	 */
	private static void swap(int i, int j,int[] s) {
		int tmp = s[i];
		s[i] = s[j];
		s[j] = tmp;
	}
	
	/**
	 * 子集输出函数
	 * @param x
	 */
	private static void output(int[] s) {
		for (int i = 0; i < s.length; i++) {
				System.out.print(s[i]);
		}
		System.out.println();	
	}
}

参考文献：

1. 《算法设计与分析》