部分和问题

0-1部分和

• 问题描述：有n个大小不同的数字a，判断是否能从中取出若干个数，使得这些数的和为k。
• 解决思路：利用DFS(深度优先搜索)来解决，用dfs(i,j)表示前i个数字能否得到部分和j,则根据前i+1个数的能否得到部分和j或j+a[i+1]来判断dfs(i,j)的状态，算法如下：

bool dfs(int i,int sum)
{
    if(i==n) return sum==k;
    if(dfs(i+1,sum)) return true;
    if(dfs(i+1,sum+a[i+1])) return true;
    return false;
}

　　或者也可以将此问题转化为0-1背包问题求解，第i件物品的重量和价值均为a[i]，判断能否恰好将某些物品放入容量为k的背包中。

多重部分和

• 问题描述：有n个大小不同的数字a，每个数有m个，判断能否从中取出若干个数，使得这些数的和为k。
• 方法1：利用动态规划求解，dp[i][j]表示前i个数能否构成部分和j，时间复杂度为O(nkm)算法如下：

dp[n+1][k+1];
dp[0][0]=1;

for(int i=0; i<n; i++)
    for(int j=0; j<=k; j++)
        for(int s=0; s<=m[i]&&s*a[i]<=j; s++)
            dp[i+1][j] |= dp[i][j-s*a[i]];

• 方法2：利用动态规划求解，dp[i][j]表示用前i个数得到部分和时，第i个数最多能剩余多少个，dp[i][j]被初始化为-1，dp[i][j]>-1表示前i个数能得到部分和j,算法的伪代码如下：

  if dp[i-1][j]>=0 
      dp[i][j]=m[i];
  else if(a[i]>j || dp[i][j-a[i]])<=0) dp[i][j]=-1;
  else dp[i][j]=dp[i][j-a[i]]-1;

  对以上算法可以优化空间复杂度，用cn[j]表示状态dp[i][j]，则算法如下：

  memset(cn,-1,sizeof(cn));
  dp[0]=0;
  
  for(int i=0; i<n; i++)
      for(int j=0; j<=k; j++)
          if(dp[j]>=0) dp[j]=m[i];
          else if(j<a[i] || dp[j-a[i]]<=0) dp[j]=-1;
          else dp[j]=dp[j-a[i]]-1;