#include <iostream> using namespace std; //卡特兰数列原理及应用 int catalan(int n){ if (n == 1)return 1; if (n == 2)return 1; int res = 0; for (int i = 1; i <= n - 1;i++){ res += catalan(i)*catalan(n - i); } return res; } //测试函数 int main(){ int n; while (cin >> n){ cout << catalan(n) << endl; } return 0; }
卡特兰数列的原理及其应用场景
令h(1)＝1，catalan数满足递归式：
h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + … + h(n-1)h(1) (其中n>=2)
该递推关系的解为：h(n)=c(2n-2,n-1)/n (n=1,2,3,…)
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …
1.括号化问题。
矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)
2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他
从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?