JZOJ 5415. 【NOIP2017提高A组集训10.22】公交运输

题目

城市中有一条长度为 (n) 的道路，每隔 (1) 的长度有一个公交车站，编号从 (0) 到 (n)，学校在 (0) 号车站的位置。其中每个公交车站(除了 (n) 号车站)有两个属性 (c_i) 和 (v_i)，代表从这个公交车站出发的公交车的性质。(c_i) 代表这个从i出发的公交车，相邻两个停靠站之间的距离。(v_i) 表示每坐 (1) 站的花费。
注意，一辆公交车出发后会向 (n) 号车站的方向行进。同时，一名乘客只能从起点站上车，但可以从任意停靠站下车。校庆志愿者小 (Z) 为了帮助校友查询有关城市交通费用的问题，想知道从 (0) 号车站(也就是学校)出发，到达每个公交车站的最小花费，于是他找到了你。

数据规模

对于 30% 的数据满足，(1 le n le 5000)
对于 60% 的数据满足，(1 le n le 10^5)
对于另 20% 的数据满足，(maxc = 1)
对于 100% 的数据满足，(1 le n le 10^6,1 le maxc le 10,1 le ci le maxc,1 le vi le 1000)
数据存在梯度。

分析

30% 的数据

我们试着想 (O(n^2)) 的 (dp)
有 (f_i = min_{1 le j < i,c_j | (i-j)}f_j + (i-j)/c_j*v_j)

另 20% 的数据

既然有 (maxc = 1) 说明所有的 (c_j=1)
也就是说我们从 (0) 点开始坐车，一遇到 (v_i) 更小的就可以换乘，必然更优
(O(n)) 扫一遍就好了

100% 的数据

考虑继续优化 (dp)
很明显只能上斜率优化了！
很明显用不了斜率优化！

观察 (f_i = f_j+ (i-j)/c_j*v_j)
若需 (c_j|(i-j))，那么 (i equiv j pmod {c_j})
所以我们要维护 (i) 的决策集合
只要 (c_i) 和 (i mod {c_i}) 两样东西就可以确定了
那我们就维护 (maxc imes maxc) 个决策集合
选用 (vector) 类型就好，我选择了链式前向星
然后怎么找最优决策？

我们先从题目中找性质
两站同属一个决策集合
如过后一个站的 (v_i) 小于 前一个站 (v_i)， 前一个站就没有用了
然后我们就有了 (v_i) 单调递增
因为同属一个集合，(c_i=c_j) 所以 (v_i/c_i) 单调递增
记 (p_i = v_i / c_i)
那么 (f_i = f_j+(i-j)*p_i)
此时考虑斜率优化
若 (j < k) 且 (j) 更优
则

[egin{aligned} f_j+(i-j)*p_j < f_k+(i-k)*p_k \ frac{(f_j-j*p_j)-(f_k-k*p_k)}{p_k-p_j} < i end{aligned} ]

因为 (f_j-j*p_j) 越来越小
所以最优决策在最后，用栈维护集合即可

(Code)

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, maxc;
int f[N], c[N], v[N], t[15][15];

struct node{int to, pre;}e[N];
inline void add(int c, int y, int to)
{
	static int tot = 0;
	e[++tot] = node{to, t[c][y]}, t[c][y] = tot;
}

inline double slope(int j, int k){return (f[j] - 1.0 * j * v[j] / c[j] - f[k] + 1.0 * k * v[k] / c[k]) / (v[k] - v[j]);}

inline void read(int &x)
{
	x = 0; int f = 1; char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9') f = (ch == '-' ? -1 : f), ch = getchar();
	while (ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	x *= f;
}
int buf[20];
inline void write(int x)
{
	if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
	for (; x; x /= 10) buf[++buf[0]] = x % 10;
	if (!buf[0]) buf[++buf[0]] = 0;
	for (; buf[0]; putchar('0' + buf[buf[0]--]));
}

int main()
{
	freopen("bus.in", "r", stdin);
	freopen("bus.out", "w", stdout);
	read(n), read(maxc);
	for(register int i = 0; i < n; i++) read(c[i]), read(v[i]);
	f[0] = 0, add(c[0], 0, 0);
	for(register int i = 1; i <= n; i++)
	{
		f[i] = INF;
		for(register int j = 1; j <= maxc; j++)
		if (t[j][i % j])
		{
			int y = i % j;
			while (e[t[j][y]].pre && slope(e[e[t[j][y]].pre].to, e[t[j][y]].to) < 1.0 * i / j) t[j][y] = e[t[j][y]].pre;
			f[i] = min(f[i], f[e[t[j][y]].to] + (i - e[t[j][y]].to) * v[e[t[j][y]].to] / c[e[t[j][y]].to]);
		}
		if (i == n || f[i] == INF) continue;
		int y = i % c[i];
		while (t[c[i]][y] && v[e[t[c[i]][y]].to] >= v[i]) t[c[i]][y] = e[t[c[i]][y]].pre;
		while (e[t[c[i]][y]].pre && slope(e[e[t[c[i]][y]].pre].to, e[t[c[i]][y]].to) < slope(e[t[c[i]][y]].to, i)) 
			t[c[i]][y] = e[t[c[i]][y]].pre;
		add(c[i], y, i);
	}
	for(register int i = 1; i <= n; i++) 
	if (f[i] == INF) putchar('-'), putchar('1'), putchar(' ');
	else write(f[i]), putchar(' ');
}