给定 (n) 个同余模方程
[left{egin{aligned}
xequiv\, & m_1(modquad a_1)\
xequiv\, & m_2(modquad a_2)\
&vdots\
xequiv\, & m_n(modquad a_n)
end{aligned}
ight.
]
不保证 (gcd(m_i,m_j)=1(i eq j)) ,求最小的正整数解 (x)
2个方程的解
因为两两之间不互质，所以不能通过ex_gcd求解
尝试将问题缩小到两个方程，再逐步推出最后的解，有
[left
{
egin{aligned}
xequiv\,&m_1(modquad a_1)\
xequiv\,&m_2(modquad a_2)
end{aligned}
ight.
]
也就等同于 (exists k_1,k_2) ，使得
[left
{
egin{aligned}
x=&\,k_1a_1+m_1\
x=&\,k_2a_2+m_2
end{aligned}
ight. ag{1}
]
即有
[k_1a_1+m_1=k_2a_2+m_2
]
整理可得
[k_1a_1-k_2a_2=m_2-m_1
]
此时可用ex_gcd求解 (k_1,k_2) ，有解的充要条件是： (gcd(a1,-a2)mid(m_2-m_1))
记 (d=gcd(a1,-a2)),且 (exists k_1^{'},k_2^{'}) ,使得
[k_1^{'}a_1-k_2^{'}a_2=d
]
可以通过ex_gcd求解得出 (k_1^{'},k_1^{'})的特解，设 (t=frac{m_2-m_1}{d}),则
[left
{
egin{aligned}
k_1&=k_1^{'}t\
k_2&=k_2^{'}t\
end{aligned}
ight.
]
通解形式为（ (k) 为任意整数）
[left
{
egin{aligned}
k_1&=k_1^{'}t+kfrac{-a_2}{d}\&=k_1+kfrac{-a_2}{d}\
k_2&=k_2^{'}t-kfrac{a_1}{d}\&=k_2-kfrac{a_1}{d}\
end{aligned}
ight.
]
再把 (k_1) 的通解带入到 (x=k_1a_1+m_1) 中
[egin{aligned}
x&=(k_1+kfrac{-a_2}{d})a_1+m_1\
&=k_1a_1+kfrac{a_1(-a_2)}{d}+m_1\
&=kfrac{a_1(-a_2)}{d}+k_1a_1+m_1\
&=underbrace{k}_{k_1}underbrace{lcm(a_1,-a_2)}_{a_1}+underbrace{k_1a_1+m_1}_{m_1}
end{aligned}
]
这样就得到了新的
[left
{
egin{aligned}
k_1&=kquad\
a_1&=lcm(a_1,-a_2)\
m_1&=k_1a_1+m_1\
end{aligned}
ight.
]
与一开始方程组 ((1)) 中的表达形式相同，这样就将两个方程合并成了一个方程
[x=k_1a_1+m_1 ag{2}
]
此时 (x) 的解就是 (m_1) 在模 (a_1) 下的最小正整数解
n个方程的解
经过 (n-1) 轮整合，可以把 (n) 个方程合并成为一个方程
[x=ka+m
]
最终的结果就是
[x=(m\%a+a)\%a
]
例题
- 每一轮合并得出的方程 ((2)) 的 (k_1) 都保证是最小正整数解，这样得到新的 (m_1) 是最小正整数解，以防在计算过程中溢出
- 保证最后的最小正解，模数也应当为正
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
if(!b) {
x=1;
y=0;
return a;
}
ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return d;
}
int main() {
int n;
scanf("%d",&n);
ll a1,m1;
scanf("%lld%lld",&a1,&m1);
bool flag=true;
for(int i=0;i<n-1;++i) {
ll a2,m2;
scanf("%lld%lld",&a2,&m2);
a2=-a2;
ll k1,k2;
ll d=exgcd(a1,a2,k1,k2);
if((m2-m1)%d) {
flag=false;
break;
}
k1=k1*((m2-m1)/d);//特解
ll temp=abs(a2/d);
k1=(k1%temp+temp)%temp;//通解中保证最小正整数解
m1=k1*a1+m1;
a1=a1/d*a2;
}
if(flag) {
if(a1<0) a1=-a1;
m1=(m1%a1+a1)%a1;//保证最后的最小正解，模数也应当为正
printf("%lld",m1);
} else puts("-1");
return 0;
}