1.先回答题主的问题：
函数可以展开成Fourier级数的充分必要条件我还没有见到过。现在可以用的一些命题是：
令，这是f的Fourier级数在一点t处的n阶部分和（它是个卷积哦），其中
为dirichlet核
那么lebesgue常数。这对于你判断一个三角级数是否是某函数(当然它要是
的)的Fourier系数会有帮助（必要条件）。
Fejer给出了一个充分条件：
假如函数是的，那么它的fourier级数在
上几乎处处可切萨罗求和得这个函数。它的推论是：如果
的fourier级数在正测度集
上收敛，那么它在
上几乎处处收敛于
。
由是我们可以构造这样一个函数，使得一个的函数，它的fourier级数几乎处处无界发散：
在闭区间上选取n个点
，假定一列奇数满足：
，定义一列数
和一系列区间
如下：
，
。(
)
然后作函数：，即为所需的反例。
这个周期函数就不可展成fourier级数。至于它的证明，实在太冗长了，也需要实变函数的知识才能理解。
傅里叶级数可以表示成某函数的充分必要条件很复杂（反正我还没见过），对它的研究主要还是集中在实变函数中。比较好的结果是在Dirichlet条件下的。Dirichlet条件：设在
上分段单调或分段可微（有可数个极值点），并且除可数多个第一类间断点外连续，则它的Fourier级数在
收敛于
。
我想题主所需要的函数大多满足那样的条件。但一般的微积分教材中都有叙述，我就不再叙述了。
此外，fourier级数与幂级数不同。每一个给定的幂级数，都是某函数的taylor级数；但每一个给定的三角函数，却不一定是某函数的fourier级数。
2.如果给的函数性质足够好，我们如何构造这个三角函数的表示？
你只需要知道，在
当然并不是所有的，比如狄利克雷函数（所有有理数都是1，无理数都是0）。能用三角函数的级数表示的，比连续函数弱一点，至多可数个第一类间断点的周期函数可以用傅立叶级数表示。证明的话，学到就知道了。
说得很好了，Dirichlet条件对于一般的工程问题已经足够。
顺便补充一下反例的函数叫Колмогоров函数。
后来他把”几乎处处“加强到了”处处“，见他的这篇论文。
顺便补充一下反例的函数叫Колмогоров函数。
(以下资料来自：数学学习或研究中你见过哪些有意思的反例？ - 知乎用户的回答 - 知乎 ）
后来他把”几乎处处“加强到了”处处“，见他的这篇论文。知乎
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数学铸就三叉戟
不可以的 三角函数只是一种特殊的周期函数 而周期函数指的是函数在定义域内的一种现象