中国剩余定理，又叫孙子定理。
作为一个梗广为流传。其实它的学名叫中国单身狗定理。
- 中国剩余定理
中国剩余定理是来干什么用的呢？
其实就是用来解同余方程组的。那么什么又是同余方程组呢。
顾名思义就是n个同余方程。
形如
如果只有一个方程的话那么是很容易用exgcd来解决。
但如果变成n个就需要用到CRT了。
下面我们言归正传。
首先我们要知道只有满足m1，m2，mn两两互质才能运用CRT。
首先，我们令M=Πni=1。
令Mi=M/mi，这样我们就可以满足Mi%mk=0（k！=i）。
然后我们在构造n个数，对于每一个数ti满足Mi×ti≡1（mod mi），即ti为Mi在mod mi意义下的乘法逆元（好像是这么叫吧），用exgcd可求。
最后再把所有Mi×ti×ai求和再取模就可以了。
为什么这样做是正确的呢？因为Mi×ti≡1（mod mi），则Mi×ti×ai≡ai（mod mi）。
显然，把所有的数加到一起必定满足方程。（切记不要忘了取模）。
一道模板题LOJ10212
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <cmath> 5 #include <queue> 6 #include <vector> 7 using namespace std; 8 int m[1005], a[1005]; 9 long long qpow(long long a, long long b) { 10 long long ans = 1; 11 while (b) { 12 if (b & 1) 13 ans = ans * a; 14 b = b >> 1; 15 a = a * a; 16 } 17 return ans; 18 } 19 long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) { 20 long long t; 21 if (!b) { 22 x = 1; 23 y = 0; 24 return a; 25 } 26 long long gcd = exgcd(b, a % b, x, y); 27 t = x; 28 x = y; 29 y = t - a / b * y; 30 return gcd; 31 } 32 int main() { 33 int n; 34 long long M = 1; 35 scanf("%d", &n); 36 for (int i = 1; i <= n; i++) { 37 scanf("%d%d", &m[i], &a[i]); 38 M *= 1ll * m[i]; 39 } 40 long long ans = 0; 41 for (int i = 1; i <= n; i++) { 42 long long x, y; 43 long long Mi = M / m[i]; 44 exgcd(Mi, m[i], x, y); 45 ans += x * Mi * a[i]; 46 } 47 printf("%lld", (ans % M + M) % M); 48 }
- 拓展中国剩余定理
在上面CRT讲解中我们提到所有的m必须两两互质，因为如果不两两互质就可能无解或求错。
但是如果毒瘤出题人就让他们不互质呢。
那我们就需要把出题人吊起来打一顿用到拓展CRT（实际上他和CRT没有任何关系）
首先只考虑有两个方程怎么做
x=a1+k1×m1，x=a2+k2×m2 。可以得到k2×m2-k1×m1=a1-a2。
嗯，看起来有点像一个二元一次方程了。
我们令 gcd=gcd（m1，m2），c=a1-a2;
如果gcd%c！=0则无解
否则用exgcd来求出k1×m1+k2×m2=gcd的解k1，再乘上c/gcd就好了。
为了避免爆long long 最好取一下模。
这样我们就可以反推出x。
但注意我们解的方程k1项系数为-1，相当与k1=-k1（所以k1=0？）
这样就求出了x。（可以把这个x0转化成最小的非负数解）
这个x符合第一个方程，也符合第二个方程。设这个x为x0
所以，可以得到通解是：x=x0+k×lcm(m1,m2)
满足这个条件的x就满足第一第二两个方程。满足第一第二两个方程的所有的解也都是这个方程的解。
所以第一第二个方程和这个方程是等价的。
将这个方程转化一下，可以得到新的同余方程：x=x0(modlcm(m1,m2))
这样，我们成功的把两个方程转化成了一个方程，以此类推。
最后留下的这个方程，它的x_0的最小非负数解，就是我们要的最终答案（最后这一段用文本编辑器打的，略显不符，请自动忽略）。
例题 poj2891
模板题，直接放代码
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #include<vector> 6 #include<cstdlib> 7 using namespace std; 8 #define int long long 9 int m[100005],c[100005]; 10 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ 11 int t; 12 if(!b){ 13 x=1;y=0; 14 return a; 15 } 16 int gcd=exgcd(b,a%b,x,y); 17 t=x; 18 x=y; 19 y=t-a/b*y; 20 return gcd; 21 } 22 signed main(){ 23 int n; 24 while(~scanf("%lld",&n)){ 25 bool ju=1; 26 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&m[i],&c[i]); 27 int m1=m[1],c1=c[1]; 28 for(int i=2;i<=n;i++){ 29 int x,y; 30 int m2=m[i],c2=c[i]; 31 int dembele=exgcd(m1,m2,x,y); 32 if((c2-c1)%dembele){ 33 ju=0; 34 printf("-1 "); 35 break; 36 } 37 x=(c1-c2)/dembele*x%m2; 38 c1-=m1*x; 39 m1=m1/dembele*m2; 40 c1%=m1; 41 } 42 if(ju) 43 printf("%lld ",(c1%m1+m1)%m1); 44 } 45 }