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  • 【模板】KM算法模板(带注释)——二分图带权最大匹配

    O(n^4)

    /*求最小值就把权值全部取相反数,
    继续套这个最大值的模板*/ 
    #include <iostream>
    #include<cstring>
    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    
    const int maxn = 101;
    const int INF = (1<<31)-1;
    int w[maxn][maxn];
    int lx[maxn],ly[maxn]; //顶标
    int linky[maxn];//linky标记与y相连的x编号 
    int visx[maxn],visy[maxn];//标记顶点是否被覆盖 
    int slack[maxn];//用来求顶标的修改值 
    int nx,ny;//左右两边的顶点数目 
    
    bool find(int x)//匈牙利算法 
    {
        visx[x] = true;//x顶点被覆盖 
        for(int y = 0; y < ny; y++)//从x顶点出发访问与之相连的y中的所有顶点 
        {
            if(visy[y])//如果y已经被覆盖 
                continue;
            int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y];
            if(t==0)//如果x,y顶标和符合边的权重 
            {
                visy[y] = true;//覆盖y 
                if(linky[y]==-1 || find(linky[y]))//如果y在x中没有匹配或者匹配可以被更改 
                {
                    linky[y] = x;
                    return true;        //找到增广轨
                }
            }
            else if(slack[y] > t)
                slack[y] = t;//保持slack是以y集合中顶点i为终点算出的t中最小的那个 
        }
        return false;                   //没有找到增广轨(说明顶点x没有对应的匹配,与完备匹配(相等子图的完备匹配)不符)
    }
    
    int KM()                //返回最优匹配的值
    {
        int i,j;
    
        memset(linky,-1,sizeof(linky));
        memset(ly,0,sizeof(ly));
        for(i = 0; i < nx; i++)
            for(j = 0,lx[i] = -INF; j < ny; j++)
                if(w[i][j] > lx[i])//lx[i]初始化为与之相连的最大权重 
                    lx[i] = w[i][j];
        for(int x = 0; x < nx; x++)//对x集合中每个顶点 
        {
            for(i = 0; i < ny; i++)//考察y集合的每个顶点 
                slack[i] = INF;//初始化修改最小代价为INF 
            while(true)
            {
                memset(visx,0,sizeof(visx));//左右顶点最开始都没有被覆盖 
                memset(visy,0,sizeof(visy));
                if(find(x))                     //找到增广轨,退出
                    break;
                int d = INF;
                for(i = 0; i < ny; i++)          //没找到,对y顶标做调整(这会增加相等子图的边),重新找
                {
                    if(!visy[i] && d > slack[i])//y集合中顶点i没有被覆盖且slack[i]更小就减小代价d 
                        d = slack[i];
                }
                for(i = 0; i < nx; i++)
                {
                    if(visx[i])
                        lx[i] -= d;//x顶标减去d(总权值减少) 
                }
                for(i = 0; i < ny; i++)
                {
                    if(visy[i])//如果i已经被覆盖 
                         ly[i] += d;//y顶标加上d 
                    else
                         slack[i] -= d;//如果i没有被覆盖 
                }
            }
        }
        int result = 0;
        for(i = 0; i < ny; i++)
        if(linky[i]>-1)//如果y集合中i找到了匹配的x 
            result += w[linky[i]][i];
        return result;
    }
    
    int main()
    {
        scanf("%d%d",&nx,&ny);
        int a,b,c;
        while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),a+b+c)
        {
            w[a][b]=c;
        }
        printf("%d
    ",KM());
        break;
        return 0;
    }

    O(n^3)

    /*
    O(n^3),把边权赋值为负数求的是花费最小的匹配。 
    */ 
    
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <cmath>
    #define INF 0x3f
    #define maxn 25
    using namespace std;
    
    int nx,ny,linky[maxn];
    double lack,w[maxn][maxn],lx[maxn],ly[maxn];
    bool visx[maxn],visy[maxn];
    
    bool find(int x){
        visx[x]=true;
        for(int i=1;i<=ny;i++){
            if(visy[i]) continue;
            int t=lx[x]+ly[i]-w[x][i];
            if(t<0){
                visy[i]=true;
                if(linky[i]==-1||find(linky[i])){
                    linky[i]=x;
                    return true;
                }
            }else if(t<lack) lack=t;//注意这里的顺序 
    
        }
        return false;
    }
    
    double KM(){
        memset(linky,-1,sizeof(linky));
        for(int i=1;i<=ny;i++) ly[i]=0;
        for(int i=1;i<=nx;i++){
            lx[i]=INF;
            for(int j=1;j<=ny;j++)
                if(w[i][j]>lx[i]) lx[i]=w[i][j];
        }
    
        for(int x=1;x<=nx;x++){
            while(true){
                memset(visx,0,sizeof(visx));
                memset(visy,0,sizeof(visy));
                lack=INF;
                if(find(x)) break;
                for(int i=1;i<=ny;i++){
                    if(visx[i]) lx[i]-=lack;
                    if(visy[i]) ly[i]+=lack;
                }
            }
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=ny;i++)
            ans-=w[linky[i]][i];
        return ans;
    }
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