• 一道有意思的编程思考题:【妖怪和和尚过河问题】
  • 无意中看到这么一道题,觉得很有意思,题目如下:

    有三个和尚和三个妖怪要利用唯一的一条小船过河,这条小船一次只能载两个人,同时,无论是在河的两岸还是在船上,只要妖怪的数量大于和尚的数量,妖怪们就会将和尚吃掉。现在需要选择一种过河的安排,保证和尚和妖怪都能过河且和尚不能被妖怪吃掉。

    看完题目,首先想到的是暴力搜索。不断地穷举下一步的可能性,直到最终达成目标。因为搜索过程中可能会有重复的状态,所以需要对状态进行哈希。

    如何表示当前的状态?首先想到的是用多维数组进行哈希。我们可以用一个四维数组(其实完全可以用二维,左边僧人妖怪的数量确定后,相应地就能计算右边了,需要多一步运算),假设左岸僧人和妖怪数量分别是 a 和 b,右岸僧人妖怪数量分别是 c 和 d,那么我们可以用 [a][b][c][d]=true 表示这种情况,也就是该状态已经被搜索过了。这样做还有个漏洞,船在左右两边是不同的情况,所以还需要一个维度来表示船的位置,那么可以这样,增加一维,用 [a][b][c][d][1]=true 表示船在左边的情况,用 [a][b][c][d][0]=true 表示船在右边的情况。这样来表示状态是完全可以的,但是众所周知 JavaScript 下表示多维数组非常的麻烦,所以进一步思考能不能将状态压缩。

    继续看,最开始时的状态,如上可以表示为 [3][3][0][0][1],之后的搜索过程中,状态中的数字不可能大于 3,也就是数字的范围在 0~3 中,这不是赤裸裸的四进制数吗?于是我们可以将该状态压缩到一个四进制数 330001 中,但是四进制毕竟操作起来不大方便,能不能转为二进制?答案很明显,一个四进制数可以拆成两个二进制,这样就好办了,将四进制的 33001 可以转成二进制 1111000001,二进制的各种运算就方便多了!

    考虑到最后一个维度的特殊情况,最终我决定将前四个维度用一个二进制来处理,第五个维度(船的位置)单独处理,用一个二维数组进行状态哈希。

    很显然,我们需要能将数组和二进制数互换的函数。

    简单写了两个互换函数,将数组转为数字的。比如将 [3, 3, 0, 0] 转为二进制大小为 11110000 的数字:

    // array to number
    function aton(a) {
      var sum = 0;
      for (var i = a.length; i--; ) {
        var index = 3 - i
          , item = a[i];
    
        (item & 1) && (sum |= (1 << (index << 1)));
        (item & 2) && (sum |= (1 << ((index << 1) | 1))); 
      }
    
      return sum;
    }
    

    将数字转为数组的,为以上函数的逆运算:

    // number to array
    function ntoa(n) {
      var a = [];
    
      for (var i = 0; i < 4; i++) {
        var num = 0
          , index = 3 - i;
    
        num |= n & (1 << (index << 1)) ? 1 : 0;
        num |= n & ((1 << ((index << 1) | 1))) ? 2 : 0;
        a.push(num);
      }
    
      return a;
    }
    

    接下去就非常简单了,进行深度优先搜索,每次搜索枚举下一个可能的状态,对该状态进行哈希,并把该状态存入答案数组中,枚举完进行回溯。

    // pos == 1 表示船在左边
    // pos == 0 表示船在右边
    function dfs(num, pos) {
    
      if (hash[num][pos])
        return;
    
      hash[num][pos] = true;
    
      var a = ntoa(num);
    
      var l_sNum = a[0];
      var l_yNum = a[1];
      var r_sNum = a[2];
      var r_yNum = a[3];
    
      pos ? a.push('left') : a.push('right');
    
      ans.push(a);  
    
      if (num === 15) { // [0, 0, 3, 3]
        // 打印答案
        ans.concat().forEach(function(item) {
          console.log(item.toString() + '->');
        });
    
        console.log('------------------');
    
        // backtrace
        hash[num][pos] = false;
        ans.pop();
    
        return;
      }
    
      // left to right
      if (pos) {
        for (var i = 0; i <= l_yNum; i++) // 妖怪过河数
          for (var j = 0; j <= l_sNum; j++) {  // 僧人过河数
    
            if (i + j === 0)
              continue;
    
            // 船上是否安全
            if (!checkIfSafe(j, i))
              continue;
    
            // 左岸是否安全
            if (!checkIfSafe(l_sNum - j, l_yNum - i))
              continue;
    
            // 右岸是否安全
            if (!checkIfSafe(r_sNum + j, r_yNum + i))
              continue;
    
            if (i + j > 2)
              break;
    
            // 过河后的数据
            var b = [l_sNum - j, l_yNum - i, r_sNum + j, r_yNum + i];
            dfs(aton(b), 0);
          }
      } else {  // right to left
        for (var i = 0; i <= r_yNum; i++)
          for (var j = 0; j <= r_sNum; j++) { 
    
            if (i + j === 0)
              continue;
    
            if (!checkIfSafe(j, i))
              continue;
    
            if (!checkIfSafe(r_sNum - j, r_yNum - i))
              continue;
    
            if (!checkIfSafe(l_sNum + j, l_yNum + i))
              continue;
    
            if (i + j > 2)
              break;
    
            // 过河后的数据
            var b = [l_sNum + j, l_yNum + i, r_sNum - j, r_yNum - i];
            dfs(aton(b), 1);
          }
      }
    
      // backtrace
      hash[num][pos] = false;
      ans.pop();
    }
    

    简单地看下深度优先搜索的函数,每次根据船所在的位置,枚举下个状态值。这里我写了个 checkIfSafe 函数来判断当前数量的僧人和妖怪在一起,会不会有危险。函数非常简单:

    function checkIfSafe(sNum, yNum) {
      return sNum === 0 || sNum >= yNum;
    }
    

    最后的最后,解法有四种,大概是这个样子:

    3,3,0,0,left->
    2,2,1,1,right->
    3,2,0,1,left->
    3,0,0,3,right->
    3,1,0,2,left->
    1,1,2,2,right->
    2,2,1,1,left->
    0,2,3,1,right->
    0,3,3,0,left->
    0,1,3,2,right->
    1,1,2,2,left->
    0,0,3,3,right->
    ------------------
    3,3,0,0,left->
    2,2,1,1,right->
    3,2,0,1,left->
    3,0,0,3,right->
    3,1,0,2,left->
    1,1,2,2,right->
    2,2,1,1,left->
    0,2,3,1,right->
    0,3,3,0,left->
    0,1,3,2,right->
    0,2,3,1,left->
    0,0,3,3,right->
    ------------------
    3,3,0,0,left->
    3,1,0,2,right->
    3,2,0,1,left->
    3,0,0,3,right->
    3,1,0,2,left->
    1,1,2,2,right->
    2,2,1,1,left->
    0,2,3,1,right->
    0,3,3,0,left->
    0,1,3,2,right->
    1,1,2,2,left->
    0,0,3,3,right->
    ------------------
    3,3,0,0,left->
    3,1,0,2,right->
    3,2,0,1,left->
    3,0,0,3,right->
    3,1,0,2,left->
    1,1,2,2,right->
    2,2,1,1,left->
    0,2,3,1,right->
    0,3,3,0,left->
    0,1,3,2,right->
    0,2,3,1,left->
    0,0,3,3,right->
    ------------------
    

    完整代码点 这里

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