乘法逆元（P3811）(四种方法)

适合单个的，费马小定理，exgcd，都是不错的选择，利用积性函数的方法和欧拉筛的方法适合批量求，但是论时间和空间的话，还是积性函数的方法比较好用，线性的。

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3811

方法一（超时）（适合求单个）：费马小定理
当p为素数的时候，a^(p-1)=1(在模p的情况下),所以我们就可以推导出，a*a^(p-2)=1,所以a的逆元就是a^(p-2)。

代码：

#include<iostream>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
# define ll long long
# define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn = 1e5+100;
ll quickpow(ll t1,ll t2,ll t){
ll ans=t1%t;
t2--;
while(t2){
if(t2&1)ans=ans*t1%t;
t1=t1*t1%t;
t2>>=1;
}
return ans%t;
}
ll inv(ll t,ll mod){
return quickpow(t,mod-2,mod)%mod;
}
int main(){
ll n,p;
scanf("%lld %lld",&n,&p);
for(int i=1;i<=n;i++){
printf("%lld
",inv(i,p));
}
return 0;
}

方法二（超时）（适合求单个）：扩展欧几里得

a*x=1（mod p),我们可以列出等式，a*x+p*y=1,利用扩展欧几里得，直接求出x。

代码：

#include<iostream>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
# define ll long long
# define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn = 1e5+100;
ll x,y;
void exgcd(ll t1,ll t2,ll mod)
{
    if(t2==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(t2,t1%t2,mod);
    ll tmp=x%mod;
    x=y%mod;
    y=(tmp-t1/t2*y%mod+mod)%mod;
}
ll inv(ll t,ll mod)
{
    exgcd(t,mod,mod);
    return x%mod;
}
int main()
{
    ll n,p;
    scanf("%lld %lld",&n,&p);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        printf("%lld
",inv(i,p));
    }
    return 0;
}

方法三（AC）（可批量求）：积性函数

证明方法如下图所示：

AC代码：

#include<iostream>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
# define ll long long
# define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn = 2e7+1000;
ll inv[maxn];
int main()
{
    ll n,p;
    scanf("%lld %lld",&n,&p);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
    inv[i]=((p-p/i)*inv[p%i]+p)%p;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
    printf("%lld
",inv[i]);
    }
    return 0;
}

 方法四：

欧拉筛（可批量求）

AC代码：

#include<iostream>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
# define ll long long
# define inf 0x3f3f3f3f
const int maxn = 2e7+1000;
ll inv[maxn],prim[maxn],vis[maxn];
ll quickpow(ll  t1,ll t2,ll mod)
{
if(!t2)return 1;
ll now=quickpow(t1,t2>>1,mod);
now=now*now%mod;
if(t2&1)now=now*t1%mod;
return now%mod;
}
int main()
{
    ll n,p;
    scanf("%lld %lld",&n,&p);
    vis[1]=1;
    inv[1]=1;
    int num=0;
    for(ll i=2; i<=n; i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            prim[++num]=i;
            inv[i]=quickpow(i,p-2,p);
        }
        for(ll j=1; j<=num; j++)
        {
            if(i*prim[j]>n)
                break;
            ll tmp=i*prim[j];
           vis[tmp]=1;
            inv[i*prim[j]%p]=inv[i]*inv[prim[j]]%p;
            if(i%prim[j]==0)
                break;
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        printf("%lld
",inv[i]);
    }
    return 0;
}