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题目链接
uoj#182 -
前言
刚看到题以为是毒瘤数据结构，没想到是毒瘤多项式...... -
题意
给定一个\(n\)个元素的序列{\(a_n\)}，有\(2\)种操作:
\(1.\) 给序列中的每个数加\(x\)
\(2.\) 将序列中的每个数变为其逆元（保证此时每个数存在逆元）
现在有\(m\)次操作，求每次操作后序列的和。
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题解
首先每个数在操作后一定会变成\(\frac{ax+b}{cx+d}\) 的形式（
我这一步没想到，然后直接弃了）那么我们将其化成\(e+f·\frac{1}{x+g}\) 的形式，令函数\(F(x)\)为这个东西，那么答案为
\[\sum_{i=1}^{n} F(a_i)=ne+f·\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i+g} \]这东西看着就知道很不好求，考虑构造函数\(G(x)=\prod_{i=1}^n (a_i+x)\) ，将答案乘上\(G(g)\)，那么就有
\[G(g)\sum_{i=1}^n F(a_i)=neG(g)+f·\sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i}(a_j+g) \]这样就可以考虑再构造函数\(H(x)=\sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} (a_j+x)\) ，所以
\[\sum_{i=1}^n F(a_i)=ne+f·\frac{H(g)}{G(g)} \]所以就直接离线，多项式多点求值，就做完了。
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实现
\(G\)可以直接分治\(fft\)解决，\(H\)观察一下发现是\(G\)的导数，可以直接求导解决。
时间复杂度\(O(nlog^2n)\)。