代数结构、半群与群——定义与性质

一、代数结构

代数运算

代数运算的定义：设A是非空集合，n∈I₊,函数f:Aⁿ->A称为A上的一个n元运算，n称为该运算的阶，特别的，A中的每个元素称为A上的0元运算。

代数运算的性质

封闭性：设°是集合A上的n元运算，S是A的非空子集。若 ∀a1,a2,..,an∈S,有°(a1,a2,...,an)∈S,则称S关于运算°是封闭的。

可交换的：设*是集合A上的二元运算，若∀a,b∈A,有a*b = b*a,则称*是可交换的，或称*满足交换律

可结合的：设*是集合A上的二元运算，若∀a,b，c∈A,有(a*b)*c = a*(b*c),则称*是可结合的，或称满足结合律

分配律：设*和°是集合A上的二元运算。若∀a,b，c∈A,有a*(b°c) = (a*b)°(a*c),则称*关于°是左可分配的。若∀a,b，c∈A,有(b°c)*a = (b*a)°(c*a),则称*关于°是右可分配的。

　　　　若*关于°既是左可分配又是右可分配的，则称*关于°满足分配律。（由这个定义可以看出，在分配律中，*和°地位是相等的）

 

定理：设*是集合A上可结合的二元运算，则∀n∈I₊,∀a1,a2,..,an∈A,表达式a1*a2*..*an经过任意加括号而计算的结果不变。

定理：若*是集合A上可结合的二元运算，则∀a∈A及∀m,n∈I₊,有a^m * aⁿ = a^m+n,(a^m)ⁿ = a^mn.

特殊元素的定义与性质

左幺元：若存在ョel∈A,使得∀a∈A，有e_l * a = a,则称e_l为关于*的左单位元，也称左幺元

右幺元：若存在ョer∈A,使得∀a∈A，有a * e_r = a,则称e_r为关于*的左单位元，也称右幺元

幺元：若存在ョe∈A,使得∀a∈A，有e * a = a * e =  a,则称e为关于*的单位元，也称幺元

左逆元：若存在ョal∈A,使得∀a∈A，有a_l * a = e,则称a_l为关于*的左逆元

右逆元：若存在ョar∈A,使得∀a∈A，有a * a_r = e,则称a_r为关于*的右逆元

逆元：若存在ョa’∈A,使得∀a∈A，有a’ * a = a * e =  a,则称a’为关于*的逆元

消去率：设*是集合A上的二元运算，a∈A。若∀x,y∈A,a*x = a *y ⇒ x=y,则称a关于*是左可约的。若∀x,y∈A,x*a =  y*a ⇒ x=y,则称a关于*是右可约的。若∀a∈A，a关于*都是可约的，则称*满足消去率。

 

定理：设*是集合A上的二元运算，e_l和e_r分别是关于*的左、右单位元，则e_l = e_r,且它是关于*的唯一单位元。同理有零元存在必唯一、逆元存在必唯一。

代数系统

定义：设S为非空集合，*1，*2，...,*n为S上的代数运算，则称<S,*1,*2,...,*n>为一个代数系统或代数结构，并称S为该代数系统的定义域。若S为有限集，则称<S,*1,*2,...,*n>为有限代数系统，并称|S|为该代数系统的阶.

运算表

各种性质在运算表中的规律：

1. 封闭性：运算表中每个元素都属于A
2. 可交换性：所有元素关于主对角线对称
3. 具有等幂性：主对角线上的每个元素与所在行（列）的表头元素相同
4. 有零元：该元素所在的行和列中的元素都与该元素相同
5. 有单位元：该元素所在的行和列中的元素分别与运算表的行和列表头元素相同

二、半群与亚群

半群和亚群的定义

半群：设<S,·>为代数系统，若·是可结合的二元运算，则称<S,·>为半群。

亚群：设<M,·>为半群，若关于·有单位元e，则称<M,·>为亚群，也称含幺子群或者独异点。（在强调单位元时，可记作<M,·,e>）

可交换半群（亚群）：若半群（亚群）<S,·>中的运算·是可交换的，则称<S,·>为可交换半群（亚群）。

半群和亚群的性质

定理：设<S,·>是一个半群，如果S是一个有限群，则必有a∈A,使得a*a=a

证：由于<S,·>是半群，对于任意x∈A,考察序列x,x²,..,xⁿ⁺¹,...,必有xⁱ = x^j,1 ≤ i <  j,令j - i = l,

(a)若j > 2i,记a = x^j-i,则有a * a = a

(b)j ≤ 2i,存在正整数m,使得m*l > i,于是xⁱ = x^j+m*l,j + m*l > 2i,又转化为情形(1)

三、群的定义与性质

群的定义

定义：满足一下四个条件的代数结构称为群：(1)封闭性  (2)可结合的 (3)存在单位元  (4)存在逆元

若群中的运算还满足交换性，则称其为交换群或阿贝尔群。

有限群：设G是一个群，如果G是有限集，则称(G,·)为有限群，G中元素的个数称为阶数。

群的判定：

1. 有左单位元，即∃e_l ∈G,使得∀a∈G，e_l * a = a
2. 每个元素有左逆元
3. 则<G,*>是群

群的性质

定理：假设G是一个群，对G中任意元素a，其逆元是唯一的

定理：(消去律)假设G是群，a,b∈G则

1. 若ab = ac,则b = c(左消去律)
2. 若ba = ca,则b = c(右消去律)

定理：设G是群，a,b∈G,则

1. ∀a，b∈A,(a*b)^-1  = b^-1 * a^-1;
2. ∀a,b∈G，方程a*x = b和y*a = b在G中有唯一解
3. (a^-1)^-1 = a
4. G中消去律成立

定理：设G是一个群，则在关于运算*的运算表中任何两行和两列都是不相同的，而且每行和每列都是G中元素的一个转置

证：(1)先证明前面一部分，从每行（列）看，与e所在行（列）相交的元素与表头相同，相互之间不同，因为表头每个元素是不相同的

　　（2）证明为一个置换，等价于每行（列）元素两两不同。考察第a行，若ab = ac，则由消去律b = c,矛盾

定理：设G是有限群，对任意a∈G，存在正整数r，使得a^r = e.

证：设|G| = n,a,a2,...,aⁿ⁺¹中必有两项相同，不妨假设a^m = a^l,1≤m≤l≤n+1,令l - m = r,于是由消去律知a^r = e

定理：设G是有限群，对任意a∈G，存在正整数r，使得a^r = a^-1.

证：由上一个定理知，存在r,使得a^r = e,则由消去律得a^r-1 = a^-1。若r-1>0,则结论得到证明。若r-1≤0,r为正整数，则r-1=0,a = e,所以a^r = e = a^-1.

子群

定义：假设G是一个群，H∈G是G的一个子群，如果H在G的运算·下也构成群，则称(H,·)是(G,·)的一个子集(subgroup),记作H≤G

显然<{e},·>, <{G},·>都是<G,·>的子群，它们称为<G,·>的平凡子群，而其它子群称作非平凡子群。

判定：

• H是G的子群当且仅当∀h1,h2∈H,有h1*h2∈H,且h1^-1∈H
• H是G的有限非空集，则H是G的子群当且仅当∀h1,h2∈H,有h1*h2∈H
• H是G的子群当且仅当∀h1,h2∈H,有h1*h2^-1∈H

群同态与群同构

定义：设<G1,*>和<G2,·>是群，函数h:G1->G2，若∀a，b∈G1，有h(a*b) = h(a)·h(b)，则称h为<G1,*>到<G2,·>的群同态。若h是双射，则称h为群同构

简单的说就是，先运算再映射与先映射再运算是一样的。其次，群同构是一种等价关系。

自同构：假设<G,*>是群，若函数f是从<G,*>到<G,*>的同构，则称f是自同构

一种经典的同构例子：

克莱因四元群和<φ{1,2},⊕>是同构的

其中f的定义为f(e) = Ø，f(a) = {1},f(b) = {2},f(c) = {1,2}

参考链接：中国大学mooc  刘铎  离散数学