计算机组成与设计（六）—— 乘法器

乘法的运算过程

人们日常习惯的乘法是十进制，但计算机实现起来不方便。首先，需要记录9x9乘法表，每次相乘去表中找结果；其次，将竖式相加也不方便。

但二进制却十分方便，冯·诺伊曼在《关于ENDVAC的报告草案》中说“二进制可以极大简化乘法和除法运算。尤其是对于乘法，不再需要十进制乘法表，也不需要两轮的加法”。

二进制乘法运算过程

观察这个式子，可以发现我们并不需要乘法表，如果乘数位为0，就在中间过程中全补零，如果乘数位为1，就在中间过程补被乘数。

运算过程的进一步调整

按照上面那种计算的话，需要大量的空间来存储中间结果，还要用一个空间存储积。其实，不难发现，每个中间结果最后都加在乘积上，我们可以将中间结果保存在乘积中，每次用中间结果更新乘积，运算结束时，乘积里面放的就是正确的乘积。

上面说直接对乘积加上被乘数是不准确的，为了满足对齐要求，只需将被乘数左移。

 这样，我们得到了一个适合硬件实现的乘法运算过程。

乘法的实现

实现结构

以4-bit数为例，(1000)₂ + (1001)₂ = (1001000)₂

具体流程

1. 初始化，将Multiplier = 1001,将Multiplicand的低4为设为1000，高4位补零，Product = 0.
2. 检查乘数寄存器的最低位，如果为1，将被乘数寄存器加到乘积寄存器中，此时控制信号会给加法器一个信号，给乘积寄存器写信号，等到下一个上升沿到来时，会将运算的结果存到乘积寄存器中。如果为0，不管。同时给被乘数寄存器左移信号，给乘数寄存器右移信号，也是在下一个时钟上升沿起作用。
3. 检测是否经历4次循环

最终的结果如下：

4位的过程对N位同样有效。

N位的流程图

乘法的优化1 

观察上面N位乘法器的流程图，由于每次信号要等到一个时钟上升沿才起作用，所以1a、2、3过程各用一个周期。其实这三个过程可以并列执行，就降为一个周期了。

 乘法的优化2（面积优化）

面积优化就是指减少不必要的硬件资源。对于CPU这样的集成电路来说，它的价格的一个重要因素就是集体管的数量，或者说芯片的面积。因此，在设计各个功能部件的时候，如何减少芯片的面积也是一个重要的方向。

 观察上面这个图，我们可以发现如下可以优化的地方：

• “被乘数寄存器”有8位宽，但其中有效位始终只有4位
• “乘数寄存器”是4位宽，但其中有效数字每周期减少1位
• “乘积寄存器”是8位宽，但初始时有效位只有4位且每周期增加1位
• “加法器”是8位宽，但参与运算的实际有效位置只有4位

我们只需逐一改进这些地方，注意，每个部件某个功能去掉，在另一个部件应加上该功能。比如”被乘数寄存器“取消了左移功能，”乘积寄存器“就相应的添加了右移功能。

• “被乘数寄存器”缩减为4位，且取消左移功能
• 取消“乘数寄存器”，乘数初始置于”乘积寄存器“低4位
• ”乘积寄存器“增加右移功能，乘积初始置于其中高4位，随着运算过程不断右移（最高位补0）
• ”加法器“缩减为4位，”乘积寄存器“只有高4位参与运算

优化后的图如下：

 注：乘法寄存器实际应该是9位，以保存加法器的进位，但这里保持8位，以突出使用优化后的演变。

N位乘法器优化同理

参考链接：https://www.coursera.org/learn/jisuanji-zucheng/lecture/JioZX/404-cheng-fa-qi-de-you-hua-2