谢宾斯基三角形的几种生成方法

简介

谢宾斯基三角形（Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢宾斯基在1915年提出。它是一种自相似集。

几种生成方法

方法一：去掉中心

1. 取一个实心的三角形（多数用等边三角形）
2. 连接三边中点，将它们分成4个小三角形
3. 将正中间的三角形挖空
4. 对其余三个小三角形重复操作1

 取一个正方形或其它图形开始，用类似的方法，形状也和谢宾斯基三角形相似，例如：

1. 取一个实心正方形
2. 将它分成3个“品”字形的小正方形
3. 将其余部分“挖空”
4. 重复步骤1

方法二：Chaos Game

1. 任取平面上三点，画出这三点
2. 在平面上任取一点P
3. 画出P与三角形其中任意一个顶点的连线的中点
4. 重复2

这种方法简单暴力，但又极其优雅。

/ 程序名称：谢宾斯基(Sierpinski)三角形，也叫垫片
// 编译环境：Visual C++ 6.0，EasyX 2011惊蛰版
// 最后更新：2010-11-16
//
#include <graphics.h>
#include <conio.h>
#include <time.h>

int main()
{
    srand((unsigned)time(NULL));                        // 设置随机种子
    POINT P[3] = {{320, 50}, {120, 400}, {520, 400}};    // 设定三角形的三个顶点
    POINT p = {rand() % 640, rand() % 480};                // 随机产生当前点

    // 初始化图形模式
    initgraph(640, 480);

    // 绘制三万个点
    int n;
    for(int i = 0; i <= 30000; i++)
    {
        n = rand() % 3;
        p.x = (p.x + P[n].x) / 2;
        p.y = (p.y + P[n].y) / 2;
        putpixel(p.x, p.y, GREEN);
    }

    // 按任意键退出
    getch();
    closegraph();

        return 0;  
}

方法三：L系统

通过曲线逼近谢宾斯基三角（没看懂维基上的生成规则，555）

贴图：

方法四：杨辉三角

将有4·2ⁿ(n≥0) 行的杨辉三角中的奇数染成黑色，当n趋于无穷大时，得到的就是谢宾斯基三角形

例如：n=3时

方法五：元胞自动机

也译作细胞自动机，由冯·诺依曼在20世纪50年代，此后史蒂芬·沃尔夫勒姆对元胞自动机理论作了深入的研究。

元胞自动机有很多规则，这里用“规则90”

考虑无限长度的一维格子表，用黑色格子表示1，白色格子表示0，有无限行这样的一维格子表就形成了“只有上界”的二维格子表。

“规则90”：相邻的三个格子决定下一行中间格子的状态，具体规则如下表：

生成的过程：

其实从从杨辉三角来理解这种方法就不难了。

分形

1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbort）首次提出分维和分形（fractal）的设想，其原意具有不规则和支离破碎的几何形状。一般是指“一个粗糙或零碎几何形状，可以分成数部分，且每一份（大约）是整体的缩小版”，此性质称为“自相似”。

数值特征

例如：用无限的周长围住了面积为0的区域

例如：在谢宾斯基三角形中，设初始周长为1单位，初始面积为1单位，则有$S_n=/frac{3}{2}^n$,$C_n=/frac{3}{4}^n$。当n趋于无穷大时，周长为∞，面积为0.

维数（豪斯多夫维）

例如：当一个正方形边长变成3倍时，得到9个他组成的、和它相似的正方形，正方形的维数是2，恰好又$log9/log3=2$

又例如：当一个长方体边长变成2倍时，得到8个由它组成、与它相似的长方体，长方体的度数为3，恰好有$log8/log2=3$

而谢宾斯基三角形的边长变成2倍时，得到三个由它组成、与它相似的图形，根据前面的计算方法，它的豪斯多夫维是$log3/log2approx 1.585$，不再是整数。

结语

学习《离散数学》看到谢宾斯基三角形，发现POJ1942就是有关它的题目。这样有成功的水一题（可还行）。

题目：The Sierpinski Fractal

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxm = (1 << 10) + 10;
const int maxn = (1 << 11) + 10;
char ch[maxm][maxn];
int n;

inline void draw(int x, int y, int n)
{
    if (n == 1)
    {
        ch[x][y] = '/'; ch[x][y + 1] = '_'; ch[x][y + 2] = '_'; ch[x][y + 3] = '\';
        ch[x - 1][y + 1] = '/'; ch[x - 1][y + 2] = '\';
        return;
    }
    draw(x, y, n - 1);
    draw(x, y + (1 << n),n - 1);
    draw(x - (1 << (n - 1)), y + (1 << (n - 1)), n - 1);
}

void solve()
{
    while (scanf("%d",&n) == 1 && n)
    {
        int row = 1 << n, col = 1 << (n + 1);
        for (int i = 0; i < row; i++)
            for (int j = 0; j < col; j++)  ch[i][j] = ' ';
        draw(1 << n, 0, n);
        for (int i = 1; i <= row; i++)
        {
            int last;
            for (int j = 0; j < col; j++)  if (ch[i][j] != ' ')  last = j;
            for (int j = 0; j <= last; j++)   printf("%c", ch[i][j]);
            printf("
");
        }
        printf("
");
    }
}

int main()
{
    solve();

    return 0;
}

参考链接：

1、中国大学mooc  刘铎  离散数学

2、https://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/5883295.html

3、https://www.codebus.cn/yangw/post/sierpinski-triangle

4、维基百科 谢宾斯基三角形