裴蜀等式——凑邮资问题

从一道“数学归纳法”例题说起

 题目：当n≥17时，用面值4元和面值7元的邮票可支付任何n元邮资。即对于任意正整数n≥17，存在非负整数a,b，使得4a+7b=n

证明：（归纳法）

设P(n)表示“可以用面值4元和7元的邮票支付n元邮资”，令Q(n)=P(n)^P(n+1)^P(n+2)^P(n+3)，则

P(18)=2*7+4，P(19)=3*4+7，P(20)=5*4，P(21)=3*7，于是Q(18)为真。

假设对于k≥18，有Q(k)=P(k)^P(k+1)^P(k+2)^P(k+3)为真

则Q(k)=P(k+1)^P(k+2)^P(k+3)^P(k+4)也为真，因为P(k)成立，选用面值为4的邮票，P(k+4)也成立。

更一般的情况

令a和b是正整数，不失一般性地假设 gcd(a,b)=1 。则存在 n ，使得对所有的正整数 k≥n， k元的邮资都可以用 a 元的邮票和 b 元的邮票凑齐。

也即可以找到非负整数 s 和 t 使得 sa+rt=k ——这就是裴蜀等式。

定理1 对于不全为0的整数 和 ，方程 存在整数解 和 当且仅当 。方程 称作裴蜀（Bezout）等式或贝祖等式。

对于裴蜀等式的解，有如下一般性结果：

定理2 假设 和 是不全为0的整数， 和 是方程 的一组整数解，则方程 的所有解为： ，其中 是整数。

证明：

“构成解”很容易验证。反过来，假设 和 是方程 的一组整数解，则有 。

于是 ，由于 和 互素，有 ，即得

推论：假设整数 与 互素，则存在整数 ， ， ， 使得 及 。

 

我们反过来思考，假设a,b已知，且存在N，使得任意的n>N都能由a,b线性表示，求N的最小值。

面值的下界

定理： 和 是互素的正整数，则当 时，方程 均有非负整数解，而 没有非负整数解。

证明：

假设 ，方程 的所有整数解为 ， ，其中 。取 ，使得 ，则由 ，有 ，从而 ，即 。于是 就是 的一个非负整数解。

另一方面，若非负整数 和 使得 ，则 。于是 ，由 有 ，从而 ；同样可知 。因此 ，导致矛盾，所以 不存在非负整数解。

该定理表明，如果 和 是互素的正整数，则 具有这样的性质： 元邮资无法用 元的邮票和 元的邮票凑齐；而对于每个大于 的正整数 ， 元的邮资都可以用 元的邮票和 元的邮票凑齐。

例如：

时， 。这也对应了最初的“数学归纳法例题”。

参考链接：

1、中国大学mooc  刘铎  离散数学

2、https://zhuanlan.zhihu.com/p/32504576