“隔板法”详解

理解隔板法

隔板法就是在n个元素间的（n-1）个空插入k-1个板子，把n个元素分成k组的方法。

应用隔板法必须满足的3个条件：

1. n个元素是相同的
2. k个组是互异的
3. 每组至少分得一个元素

公式

将n个相同的求放到m个不同的盒子里的个数为：$C_{n-1}^{m-1}$

例如，把10个相同的球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？  $C_{n-1}^{m-1} = C_9^2$

隔板法应用

普通隔板法

例1.求方程x+y+z=10的正整数解的个数。

分析：将10个求排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z的值，则隔板法与解的个数之间建立了一一对应关系，故解的个数为C(n-1, m-1) = C(9, 2) = 36.

添元素隔板法

例2. 求方程 x+y+z=10的非负整数解的个数。

分析：注意到x、y、z可以为零，故例1解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各添加一个球，这样原问题就转化为求 x+y+z=13的正整数解的个数了，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？易得解的个数为C（n+m-1,m-1）=C（12，2）=66（个）。

例3.把10个相同的小球放到3个不同的箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第3个箱子可以为空，有几种情况？

我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球（即补充了一个球），则问题转化为把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？C(8,2）=28

（减元素隔板法）

例4. 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。

分析：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有C（13，3）=286（种）。

添板插板法

例5.有一类自然数序列，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如1 4 5 9，5 8 13等等，这类数共有几个？

分析：因为前2位唯一确定了整个序列，只要求出前两位的所有情况即可，设前两位为a和b

显然a + b <= 9，且a不为0.

设1_1_1_1_1_1_1_1_1    1代表9个1，_代表8个空位.

我们要把9分成两组，但b可以为0，我们先给b一个1，然后就相当于把10个球放入(a, b)两不同的盒子里，每个盒子至少放一个，C(9, 1)，但这是错误的，为什么？因为1不一定要全部放入。其实解决这个问题可以这么想，我们引入一个盒子c放a、b取完后剩下的1，所以保证c中球数大于0，需要再增加一个球，题目等价于，11个球放入3个不同的箱子，每个箱子至少放一个，C(10, 2).

例5另一种解法：

显然a + b <= 9，且a不为0.

设1_1_1_1_1_1_1_1_1_ _    1代表9个1，_代表8个空位.

之前我们可以在9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空。若在末尾添加两个空，第二组就能取到空，所以共有C(10, 2).

选板法

例6.有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？

分析：o_o_o_o_o_o_o_o_o_o   o代表10个糖，_ 代表9个空，所以10块糖，9个空，插入9块隔板，每个板都可以选择放或不放，相邻两板间的糖一天吃掉，这样共有

2^9=512啦.

分类插板法

例7.小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

分析：

此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论 
最多吃5天，最少吃1天 
1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况 
2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ C（10， 1）=10 
3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? C（8 ，2）=28 
4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c（6 ，3）=20 
所以一共是 2+10+28+20=60 种 .

逐步插板法  

我觉得叫逐步插空法更好，为什么？看例题

例8.在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？
分析：可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位，所以一共是C(7, 1)×C(8, 1)×C(9, 1)=504种.

OJ例题

1.[ZOJ3557]How Many Sets II

题意：从n个小球中取m个小球，不能取相邻的小球的方案数.

这道题是插板法的经典应用
首先我们拿出m个小球，还剩下n-m个小球。这n-m个小球一共有n-m+1个空（左右两边也可以），把这m个小球插入到这n-m+1个空里就是答案，即$C_{n-m+1}^m$
这m个小球的编号取决于它插入的位置，所以和选哪个小球没关系.

2.hdu 3037 Saving Beans

题意：有n个不同的盒子，在每个盒子中放一些球（可以不放），使得总球数≤m,求方案数（mod p）.

方法一：

设最后放了k个球，根据"隔板法"由方案数C(k+n-1,n-1),:<br>
ans=C(n-1,n-1)+C(n,n-1)+C(n+1,n-1)+……+C(n+m-2,n-1)+C(n+m-1,n-1)<br>
&nbsp; &nbsp; &nbsp;=C(n+m,n);(mod p)

方法二：

这个题和原来不一样的地方：总球数≤m，一般我们就是总球数就是m，所以我们可以增加一个盒子，现在n+1个盒子，现在假设就要放m个球，n来来放k个球，剩下的m-k就放在那个我们增加的盒子里，这样n个盒子的组合球数就是我们要求的，所以题目等价于m个球放入n+1个盒子中，盒子有里球数可以为0，添元素插板法，每一个盒子都增加一个球，即m+n+1个球放入n+1个盒子，c（m+n，n）为答案。

参考链接：http://www.360doc.com/content/18/1010/18/5315_793617654.shtml