灰值形态学中的腐蚀与膨胀

膨胀与腐蚀一般用于二值图，也很好理解。但是对于灰度图，显然也存在腐蚀与膨胀，这是如何进行的呢？

可以使用OpenCV中的库函数cv2.erode和cv2.dilate，但这次是探究其中的原理。

灰值形态学

结构元素（structure element）

$5 imes 5$结构元素示例：

（2）欧几里得距离(Euclidean distance)

0	1	1	1	0
1	2	2	2	1
1	2	2	2	1
1	2	2	2	1
0	1	1	1	0

（2）城市街区距离(city block distance)

0	0	1	0	0
0	1	2	1	0
1	2	3	2	1
0	1	2	1	0
0	0	1	0	0

（3）棋盘距离(Chess board distance)

1	1	1	1	1
1	2	2	2	1
1	2	3	2	1
1	2	2	2	1
1	1	1	1	1

腐蚀（Erosion）

灰度图像的腐蚀运算的数学定义为:

 $(foplus b) = max{f(s-x,t-y) + b(x,y)|(s-x,t-y) in D_f;(x,y) in D_b }$

即加上权重后取最大值。

膨胀（Dilation）

数学定义：

$(fcircledast  b) = min{f(s-x,t-y) - b(x,y)|(s-x,t-y) in D_f;(x,y) in D_b }$

即减去权重取最小值

在灰度形态学中，一般选择平坦的结构元素。所谓“平坦”，就是指结构元素的高度为零，即b的值全为0，则上面两个公式可以重写为:

$$(foplus  b) = max{f(s-x,t-y)|(s-x,t-y) in D_f;(x,y) in D_b }$$
$$(fcircledast  b) = min{f(s-x,t-y)|(s-x,t-y) in D_f;(x,y) in D_b }$$

代码

（写得太丑了）

def my_dilation(img, kernel):
    ret = img.copy()
    l1 = int((kernel.shape[0] - 1) / 2)
    l2 = int((kernel.shape[1] - 1) / 2)
    for i in range(l1,img.shape[0]-l1):
        for j in range(l2,img.shape[1]-l2):
            values = []
            for k1 in range(-l1, l1 + 1):
                for k2 in range(-l2, l2 + 1):
                    v = int(img[i+k1][j+k2]) + int(kernel[k1+l1][k2+l2])
                    if v > 255:
                        v = 255
                    values.append(v)
            ret[i][j] = max(values)
    return ret     

def my_erosion(img, kernel):
    ret = img.copy()
    l1 = int((kernel.shape[0] - 1) / 2)
    l2 = int((kernel.shape[1] - 1) / 2)
    for i in range(l1,img.shape[0]-l1):
        for j in range(l2,img.shape[1]-l2):
            values = []
            for k1 in range(-l1, l1 + 1):
                for k2 in range(-l2, l2 + 1):
                    v = int(img[i+k1][j+k2]) - int(kernel[k1+l1][k2+l2])
                    if v > 255:
                        v = 255
                    values.append(v)
            ret[i][j] = min(values)
    return ret 

参考链接：https://blog.csdn.net/guoyk1990/article/details/8134134