树状数组入门讲解

平常我们会遇到一些对数组进行维护查询的操作，比较常见的，修改某点的值、求某个区间的和。

即给定一个n个元素的数组$A_1、A_2、..., A_n$，你的任务是设计一个数据结构，支持以下两种操作：

1. $Add(x,d)$操作：让$A_x$增加$d$。
2. $Query(L,R)$：计算$A_L+A_{L+1}+...+A_R$。

如果按简单的前缀和处理，修改操作是$O(1)$，区间查询操作是$O(n)$，当操作次数为m时，最坏的时间复杂度是$O(mn)$，$n$很大时显然无法接受。如何让$Query$和$Add$都能快速完成呢？有一种称为二叉搜索树($Binary Indexed Tree, BIT$)的数据结构（俗称树状数组），可以很好地解决这个问题。为此，我们需要先介绍$lowbit$。

lowbit

 对于正整数$x$，我们定义$lowbit(x)$为$x$的二进制表达式中最右边的1所对应的值（而不是这个比特的序号）。比如，38288的二进制是1001010110010000，所以$lowbit(38288)=16$（二进制是10000）。在程序实现中，$lowbit(x)=x&-x$。为什么呢？回忆一下，计算机里的整数采用补码表示，因此$-x$实际上是$x$按位取反末尾加一的结果，如图所示：

两者按位取与之后，前面的部分全部变0，之后lowbit保持不变。

原理

如下图所示是一颗典型的BIT，由15个结点组成，编号为1~15.

    灰色结点是BIT中的结点（白色长条的含义稍后叙述），每一层结点的lowbit相同，而且lowbit越大越靠近根。图中的虚线是BIT中的边（在代码中并不需要存储这些边，这里画出来只是为了更好的理解BIT）。注意编号为0的点是虚拟结点，它并不是树的一部分，但是它的存在可以让算法理解起来更容易一些。

    对于结点$i$，如果它是左子结点，那么它的父节点编号就是$i+lowbit(i)$；如果它是右子结点，那么它的父节点的编号是$i-lowbit(i)$（请自行验证）。搞清楚树的结构之后，构造一个辅助数组C，其中$C_i=A_{i-lowbit(i)+1}+A_{i-lowbit(i)+2}+...+A_i$

    换句话说，C中的每个元素都是A数组中的一段连续和。到底是哪一段呢？BIT中，每个灰色结点$i$都属于一个以它自身结尾的水平长条（对于lowbit=1的那些点，“长条”就是那个结点自身），这个长条中的数之和就是$C_i$。比如结点12的长条就是从9~12，即$C_2=A_9+A_{10}+A_{11}+A_{12}$。同理，$C_6=A_5+A_6$。这个等式及其重要，请花一些时间来验证"$C_i$就是以$i$结尾的水平长条内的元素之和"这一事实。

    有了$C$数组之后，如何计算前缀和$S_i$呢？顺着结点$i$往左走，边走边往上爬（注意并不一定沿着树中的边往爬），把沿途经过的$C_i$累加起来就可以了（请自行验证，沿途经过的$C_i$所对应的长条不重复不遗漏地包含了所有需要累加地元素），如图所示

    而如果修改了一个$A_i$，需要更新$C$数组中哪些元素呢？顺着结点$C_i$开始往右走，边走边“往上爬”（同样不一定沿着树中的边爬），沿途修改所有结点对应的$C_i$即可（请自己验证，有且仅有这些结点对应的长条包含被修改的元素），如图所示：

   不难证明。两个操作的时间复杂度均为O(logn)。预处理的方法是先把$A$数组和$C$数组清空，然后执行$n$次$add$操作，总时间复杂度为$O(nlogn)$。

代码

两个操作的代码如下：

int sum(int x)     //前缀和
{
    int ret = 0;
    while (x > 0)
    {
        ret += C[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ret;
}
void add(int x, int d)
{
    while (x <= n)
    {
        C[x] += d;
        x += lowbit(x);
    }
}

完整代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int maxn = 10000 + 10;
int a[maxn],C[maxn],n;

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
int sum(int x)
{
    int ret = 0;
    while (x > 0)
    {
        ret += C[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ret;
}
void add(int x, int d)
{
    while (x <= n)
    {
        C[x] += d;
        x += lowbit(x);
    }
}
void init()
{
    memset(C, 0, sizeof(C));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        add(i, a[i]);
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)  scanf("%d", &a[i]);
    init();
    printf("%d
", sum(10));
    printf("%d
", sum(5));
    add(5, 3);
    printf("%d", sum(5));

    return 0;
}