卷积的定义
向量的计算
给定向量：$a=(a_0,a_1,.,a_{n-1}), b = (b_0,b_1,...,b_{n-1})$
向量和：$a+b = (a_0+b_0, a_1+b_1, ... ,a_{n-1}+b_{n-})$
内积：$acdot b = a_0b_0 + a_1b_1 +...+a_{n-1}b_{n-1}$
卷积：$a*b = (c_0, c_1,...,c_{2n-2})$，其中$C_k = sum_{i+j=k, i,j< n} a_ib_j, k = 0,1,...,2n-2$
即$$ egin{aligned}
C_0 &= a_0b_0 \ C_1 &= a_0b_1+a_1b_0 \C_2 &= a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0 \ cdots
end{aligned} $$
这就是卷积的基本公式，即将下标和相同的数相乘再相加，对于这个公式我们有矩阵形式的解释。
卷积的含义
构造如下形式的矩阵：
可发现，每条斜线的项之和恰好是卷积中的各个分量。
例如，$C_{n-1}$
计算实例
向量$a=(1,2,4,3)$和向量$b=(4,2,8,0)$进行运算。
例如卷积结果中的28，既可以通过前3项交叉相乘$1 imes 8 + 2 imes 2 + 4 imes 4$得到，也可以矩阵形式斜线相加得到。
卷积与多项式乘法的关系
多项式乘法：$C(x) = A(x)B(x)$
$A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2+...+a_{m-1}x^{m-1}$
$B(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + ... + b_{n-1}x^{n-1}$
$C(X) = a_0b_0 + (a_0b_1 + a_1b_0)x+(a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0)x^2 + ...+ a_{m-1}b_{n-1}x^{m+n-2}$，其中$x^k$的系数
$$c_k = sum _{i+j=k \ iin{0,1,...,m-1} \ jin{0,1,...,n-1} } a_ib_j, k=0,1,...,m+n-2$$
可见，多项式乘法的系数就是卷积的结果。
卷积应用：信号平滑处理
由于噪声干扰，对信号需要平滑处理。
如图，红色的线是有噪音的情况，黑色的线就是处理以后的结果，它把噪音去掉了，这种处理叫平滑处理。
平滑处理
信号向量：$a = (a_0,a_1,...,a_{m-1})$
$b = (b_{2k}, b_{2k-1}, ..., b_0) = (w_{-k}, ..., w_k)$
于是${a_i}' = sum _{s=-k} ^k a_{i+s}b_{k-s} = sum _{s=-k}^k = a_{i+s}w_s$
由于a是升序，b是降序，所以对应项的下标和相等，相乘再相加也即是一个卷积值，用新的值代替原来位置的值。把b向量看作一个2k+1长度窗口在a上移动，少数项有误差。
实例
矩阵表示如下：
