线段树（一）：点修改

    动态范围最小值问题。给出一个有$n$个元素的数组$A_1, A_2, ..., A_n$，你的任务是设计一个数据结构，支持以下两种操作：

• $Update(x, v)$：把$A_x$修改为$v$
• $Query(L, R)$：计算$min { A_L, A_{L+1},...,A_R } $

    如果还是使用$Sparse-Table$算法，每次$Update$操作都需要重新计算$d$数组，时间无法承受。为了解决这个问题，这里介绍一种灵活的数据结构：线段树（segment tree）.

    在查询时，我们从根节点开始自顶向下找到待查询线段的左边界和右边界，则“夹在中间”的所有叶子结点不重复不遗漏地覆盖了整个待查询线段。从图中不发现，树的左右各有一条“主线”，虽然各自分叉，但每层最多只有两个结点向下延伸，因此“查询边界”结点个数不超过$2h$个，其中$h$是线段树的最大层编号。这实际上是把待查询线段分成了不超过$2h$个不相交线段的并。在后文中，凡是遇到这样的区间分解，就把分解得到的各个区间叫做边界区间，因为它们对应于分解过程的递归边界。

    如何更新线段树呢？显然需要更新线段$[i, i]$对应的结点，然后还需要更新它的所有祖先结点。不发现，其他的值并没有改变。

    以下是代码。这里的$o$是当前结点编号，$L$和$R$是当前结点的左右端点。查询时，全局变量$ql$和$qr$分别代表查询区间的左右端点；修改时，全局变量$p$和$v$分别代表修改点位置和修改后的值。

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 100000 + 10;
int minv[maxn << 2];
int n, a[maxn];

void build(int o, int L, int R)
{
    int M = L + (R-L) / 2;
    if(L == R)  minv[o] = a[L];
    else
    {
        build(2*o, L, M);
        build(2*o+1, M+1, R);
        minv[o] = min(minv[2*o], minv[2*o+1]);
    }
}

int ql, qr;    //查询[ql, qr]中的最小值
int query(int o,int L,int R)
{
    int M = L + (R - L) / 2;
    int ans = INF;
    if(ql <= L && R <= qr)  return minv[o];
    if(ql <= M)  ans = min(ans, query(2*o, L, M));
    if(qr > M)  ans = min(ans, query(2*o+1, M+1, R));
    return ans;
}

int P, v;  //修改A[p]=v
void update(int o, int L, int R)
{
    int M = L + (R-L)/2;
    if(L == R)  minv[o] = v;  //更新叶子结点
    else
    {
        if(P <= M)  update(2*o, L ,M);
        else  update(2*o+1, M+1, R);
        minv[o] = min(minv[2*o], minv[2*o+1]);  //更新非叶子结点
    }
}

    最后叙述一下建树过程。一种方法是每读入一个元素$x$后执行修改操作$A[i]=x$，则时间复杂度为$O(nlogn)$。其实只需要事先设置好每个结点的值，自底向上递推即可（也可以写成递归）。每个结点仅计算了一次，因此为时间复杂度$O(n)$。