2018 南京网络预赛Sum

题意

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定义 $f(x)$ 为满足以下条件的有序二元组 $(a, b)$ 的方案数（即 $(a, b)$ 与 $(b, a)$ 被认为是不同的方案）：

• $x= ab$
• $a$ 和 $b$ 均无平方因子（即因子中没有除1之外的完全平方数）

求 $displaystyle sum_{i=1}^nf(i), 1 leq nleq 2 imes 10^7$.

分析

显然，$f(n)$ 是积性函数，考虑线性筛。

1. 当 $x$为素数时， $f(x)=2$，即 $(1,x)$ 和 $(x,1)$;
2. 当 $x$ 的最小质因子为 $p$，且 $p mid frac{x}{p}$ 时，$f(x) = f(p)f(frac{x}{p}) = 2f(frac{x}{p})$；
3. 当 $x$ 的最小的质因数为 $p$，且 $p mid frac{x}{p}$
   • 如果 $p mid frac{x}{p^2}$，那么 $x$ 中的 $p$ 的指数至少为3，即不管如何划分 $(a, b)$，两个数中一定有一个数其 $p$ 的指数大于等于2，即不存在合法的方案
   • 否则， $x$中 $p$ 的指数就为2，把这两个 $p$ 分别分给 $a$ 和 $b$，剩余的 $frac{x}{p^2}$就是一个子问题，即 $f(x) = f(frac{x}{p^2}) = f(frac{x}{p})f(frac{1}{p}) = f(frac{x}{p})/2$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 2e7 + 10;
int n;
int vis[maxn], primes[maxn], primeCnt;
int f[maxn], s[maxn];       //f(i)的前缀和

void seive()
{
    f[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            primes[++primeCnt] = i;
            f[i] = 2;
        }
        for(int j=1;j <= primeCnt && (long long)i * primes[j] <= maxn;j++)
        {
            vis[i *primes[j]] = true;
            if(i % primes[j] == 0)
            {
                f[i *primes[j]] = (i / primes[j] % primes[j] == 0)? 0: f[i/primes[j]];
                break;
            }
            else  f[i * primes[j]] = f[i] * 2;
        }
    }
}

int main()
{
   seive();
   for(int i = 1;i <= maxn;i++)  s[i] = s[i-1]+f[i];

   int T;
   scanf("%d", &T);
   while(T--)
   {
       scanf("%d", &n);
       printf("%d
", s[n]);
   }
}

参考链接：https://oi.men.ci/jsk-30999/#%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%B5