P3599 Koishi Loves Construction——构造题

题目

Task1：试判断能否构造并构造一个长度 $n$ 的 $1...n$ 的排列，满足其 $n$ 个前缀和在模 $n$ 的意义下互不相同

Task2：试判断能否构造并构造一个长度 $n$ 的 $1...n$ 的排列，满足其 $n$ 个前缀积在模 $n$ 的意义下互不相同。

分析

既然考虑原数列很难，就直接考虑前缀和和前缀积。

对于task1：

在模 $n$ 意义下，${1,2,3,...n}$ 等价于 $ {0,1,-1,2,-2,... }$，我们将它设为前缀和。

其次，我们可以发现 $n$ 必定出现在数列的第一位，否则 $n$ 出现前后的两个前缀和会相等。已知首项，已知前缀和，就可以推出各项。奇数不行。

总结：

当 $n$ 为奇数时，无法构造出合法解（1特判）

当 $n$ 为偶数时，可以构成形如 $n, n-1, 2, n-3, 4...$ 这样的数列

对于Task2：

根据消元法，构造数列 $1,frac{2}{1},frac{3}{2},...,frac{n-1}{n-2}$。

显然，合数没有解，因为其两个两个因子相乘之后，后面取模都为0了。

显然，首项为1，末项为n。

只需证明中间那些数是互不相同的。因为 $frac{k+1}{k} = 1 + frac{1}{k}$，当 $n$为质数时，每个元素都有逆元且不相同。

总结：

当 $n$ 为合数，无法构造出合法解（特判4）

当 $n$ 为质数，可以构造形如 $1,frac{2}{1},frac{3}{2},...,frac{n-1}{n-2},n$.（特判1）

注意开 long long!!!

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 100000 + 10;
int task, T;
int n;

void solve1()
{
    if(n ==  1)
    {
        printf("2 1
");
        return;
    }
    if(n&1)
    {
        printf("0
");
        return;
    }
    printf("2 %d ", n);
    ll pre = 0;
    //printf("n:%d
", n);
    for(int i = 1;i < n;i++)
    {
        int tmp = ((i&1) == 0 ? 1 : -1) * ((i+1) / 2); //printf("tmp: %d
", tmp);
        printf("%d", (tmp -pre+n)%n);
        if(i == n-1)  printf("
");
        else printf(" ");
        pre = tmp;
    }
}

bool is_prime[maxn + 1];
void sieve(int n)
{
    int m = (int)sqrt(n + 0.5);
    memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;                //1是特例
    for (int i = 2; i <= m; i++)  if (is_prime[i])
        for (int j = i * i; j <= n; j += i)  is_prime[j] = false;
}

int inv[maxn];
void init_inv(int n, int mod)
{
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2;i < n;i++)  inv[i] = 1LL * (mod -  mod / i) * inv[mod % i] % mod;  //加mod不改变结果
}

void solve2()
{
    if(n == 1)
    {
        printf("2 1
");
        return;
    }
    if(n == 4)
    {
        printf("2 1 3 2 4
");
        return;
    }
    sieve(n);
    if(!is_prime[n])
    {
        printf("0
");
        return;
    }
    init_inv(n, n);
    printf("2 1 ");
    for(int i = 2;i <= n-1;i++)  printf("%d ", 1LL * i * inv[i-1] % n);
    printf("%d
", n);
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &task, &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d", &n);
        if(task == 1)  solve1();
        else solve2();
    }
    return 0;
}

参考链接：

1. https://oi-wiki.org/basic/construction/

2. https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3599