一个莫比乌斯等式的证明

证：$displaystyle sum_{i=1}^n mu (i)^2 = sum_{i=1}^{left lfloor sqrt n ight floor}mu (i)left lfloor frac{n}{i^2} ight floor$，其中 $mu (x)$ 为莫比乌斯函数.

分析：

在等式的推到中，最重要的是理解一个等式的含义。

上式左边其实是求 $1 sim n$ 中无平方因子数的个数，右边相当于枚举 $n$ 的平方因子，再乘以容斥系数。

因此，也找到了严格证明的方法了。

证：

设 $f(x)$ 为 $x$ 的最大的平方因子。

于是 $displaystyle sum_{i=1}^n mu (i)^2 = sum_{i=1}^n[f(i)==1]$（最大平方因子为1）。

使用经典套路：

$$
egin{aligned}
sum_{i=1}^n mu (i)^2 & = sum_{i=1}^n[f(i)==1]\
&= sum_{i=1}^nvarepsilon(f(i))\
&= sum_{i=1}^nsum_{d|f(i)}mu (d)
end{aligned}$$

改变枚举顺序：

$$
egin{aligned}
sum_{i=1}^nsum_{d|f(i)}mu(d) & = sum_{d=1}^n mu (d)sum_{i=1}^n d^2 | i\
&=  sum_{d=1}^n mu (d)left lfloor frac{n}{d^2} ight floor \
&=  sum_{d=1}^{sqrt n} mu (d)left lfloor frac{n}{d^2} ight floor
end{aligned}$$

证毕

参考链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/36745053