问题一
证明：一根1米长的绳子，随机切成 $N$ 刀，变成（$N+1$）根绳子，则最短的一根绳子长度的期望为 $displaystyle frac{1}{(N+1)^2}$.
证：
引理：当分成 $n$ 段时，第一段的长度至少为 $x$ 的概率为 $(1-x)^{n-1}$.
很容易理解，因为第一个人拿 $x$，后面的 $n-1$ 刀都切在 $(1-x)$.
推论：当切成 $n$ 段时，每一段的长度至少为 $x$ 的概率为 $(1-nx)^{n-1}$.
即 $P(v_{min} > x) = (1-nx)^{n-1}$
则最小值的数学期望为
$$egin{aligned} & E(V_{min}) \ &= int_0^{frac{1}{n}} v_{min}p_{min}d(v_min) \ &= int _0^{frac{1}{n}} P(v_min > x)dx \ &= int _0^{frac{1}{n}} (1-nx)^{n-1}dx \&= int_0^1frac{1}{n} (1-t)^{n-1}dt \&= frac{1}{n^2} end{aligned}$$
更一般的，分成 $n$ 段时，第 $k$ 长的长度的数学期望为：$E(v_k) = frac{1}{n}sum_{i=k}^n frac{1}{i}$.
问题二
证明：对于 $n$ 个 $[0, 1]$ 之间的随机变量 $x_1,x_2,..,x_n$，第 $k$ 小的那个的期望值为 $frac{k}{n+1}$.
证：
参见Wiki中的 Order statistic，即顺序统计量，其中表明单位区间上均匀分布的顺序统计量具有属于 Beta 分布的边际分布。
进一步，均匀分布的第 $k$ 阶段统计量服从 $eta$ 分布，即 $U_{(k)} sim Beta(k, n+1-k)$.
已知 Beta 分布 $eta(a,b)$ 的均值为 $frac{a}{a+b}$，
因此第 $k$ 小的期望为 $frac{k}{n+1}$
参考链接：
1. https://www.zhihu.com/question/30359365