2019CCPC网络赛 HD6707——杜教筛

题意

求 $f(n,a,b)=sum_{i=1}^n sum_{j=1}^i gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1]\%(10^9+7)$，$1 le n,a,b le 10^9$，共有 $T$ 组测试，其中只有10组的 $n$ 大于 $10^6$.

分析

首先，当 $i, j$互质，$a, b$互质时，有 $gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i-j$（证明见 链接），也可以打表猜一猜嘛。

可以推出：$$sum_{d=1}^{N}mu(d)cdot dsum_{i=1}^{lfloorfrac{N}{d} floor}sum_{j=1}^{i}(i-j)$$

单独考虑后半部分，$sum_{i=1}^{k}sum_{j=1}^{i}(i-j)=frac{k^3-k}{6}$.

然后，只剩下左边的 $mu(d)cdot d$,

将其与恒等函数 $Id(n) = n$ 狄利克雷卷积后得

$$egin{align*}
(mu(d)cdot d)*Id(d)
& =  sum_{d|n}(mu(d)cdot d)cdot Id(frac{n}{d})\
& = sum_{d|n}mu(d) =  [n=1]
end{align*}$$

接下来套杜教筛得公式

$$egin{align*}
S(n)
& = sumlimits_{i=1}^n [i=1]-sumlimits_{i=2}^nicdot S(lfloordfrac{n}{i} floor)\
& = 1-sumlimits_{i=2}^nicdot S(lfloordfrac{n}{i} floor)
end{align*}$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 6e6 + 10;
const ll mod = 1e9+7;
const ll inv6 = 166666668;
int sum[maxn], mu[maxn], pri[maxn], pn;
bool vis[maxn];
map<int, int>mp_sum;
int n, a, b;

ll s2(ll i, ll j)
{
    return (i+j) * (j-i+1) / 2 % mod;
}

ll s3(ll k)
{
    return (k*k%mod - 1) * k % mod * inv6 % mod;
}

ll S(ll x)
{
    if(x < maxn)  return sum[x];
    if(mp_sum[x])  return mp_sum[x];
    ll ret = 1LL;
    for(int i = 2, j;i <= x;i = j+1)
    {
        j = x / (x / i);
        ret = (ret - s2(i, j) * (S(x/i))%mod) % mod;
    }
    return  mp_sum[x] = (ret + mod) % mod;
}

void pre()
{
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2;i < maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            pri[++pn] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1;j <= pn && i * pri[j] < maxn; j++)
        {
            vis[i * pri[j]] = true;
            if(i % pri[j])  mu[i * pri[j]] = -mu[i];
            else
            {
                mu[i * pri[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i = 1;i < maxn;i++)  sum[i] = (sum[i-1] + i * mu[i]) % mod;
}

int main()
{
    pre();

    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d", &n, &a, &b);
        ll ans  = 0;
        for(ll l = 1,r; l <= n;l = r+1)
        {
            r = n / (n / l);
            ans = (ans + (S(r) - S(l-1)) * s3(n/l)) % mod;
        }
        printf("%lld
", (ans+mod)%mod);
    }
    return 0;
}

最开始开的 MAXN=2e6，会TLE；原博客开的6e6，又MLE，将long long 数组改成 int 才行。

其实标答是推成 $displaystyle ans = frac{sum _{i=1}^n ivarphi (i) - 1}{2}$，少了一次整除分块。

但是，通过这种解法，让我深刻认识了杜教筛的时空矛盾该怎么平衡。

参考链接：https://segmentfault.com/a/119000002017183