2019ICPC南京网络赛B super_log——扩展欧拉定理

题目

设函数

$$log_a*(x) = egin{cases}
-1, & ext{ if } x < 1 \
1+log_a*(log_ax) & ext{ if } x geq 1
end{cases}$$

求最小的正整数 $x$，使得 $log_a*(x) geq b$ 

分析

通过将递归式展开，展开 $b$ 次等于1，所以 $x$ 为 $a^{a^{a^{...}}}$（共 $b$ 次）

 由欧拉降幂公式

$$a^b= egin{cases} a^{b \% varphi(p)} &  gcd(a,p)=1 \  a^b &  gcd(a,p) eq 1,b < varphi (p) \  a^{b\% varphi (p) + varphi (p)} & gcd(a,p) eq 1,b geq varphi (p) end{cases}$$

用这个公式，需要讨论 $b$ 与 $varphi(p)$ 的大小关系，很麻烦。

看网上的博客，有一种精妙的方法，只需重写 Mod 函数，就能当作 $a$ 与 $p$ 互素处理。证明见 博客。

要点：

• 快速幂和cal函数都要换成Mod；
• 最终答案需要模p

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll a, b, p;

ll Mod(ll x, ll mod)
{
    return x < mod ? x : x % mod + mod;
}

ll euler_phi(ll n)
{
    ll m = (ll)sqrt(n + 0.5);
    ll ans = n;
    for (ll i = 2; i <= m; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)  n /= i;        //除尽
        }
    }
    if (n > 1)  ans = ans / n * (n - 1);    //剩下的不为1,也是素数
    return ans;
}

ll qpow(ll a, ll b, ll p)
{
    ll ret = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret = Mod(ret * a, p);
        a = Mod(a * a ,p);
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

ll cal(ll a, ll b, ll p)   //a^a^a..^a共b次
{
   // printf("%lld %lld
", t, p);
    //if(t == 1)  return Mod(a, p);
    if(b == 0)  return Mod(1, p);
    if(p == 1)  return Mod(a, p);
    ll phip = euler_phi(p);
    return qpow(a, cal(a, b-1, phip), p);  //第一类和第三类
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &p);
        printf("%lld
", cal(a, b, p) % p);  //这个取模不能少
    }
    return 0;
}

之前写了一种需要讨论 $b$  与 $varphi(p)$ 大小的，

因为模数 $p leq 1e6$，可以找找 $b$ 小于 $varphi(p)$ 的情况

打表发现，

1 2 4 16 65536
1 3 27 97484987 739387
1 4 256 6084096 61392896
1 5 3125 8203125 8203125
1 6 46656 63878656 38438656
1 7 823543 70132343 33172343
1 8 16777216 21126656 19449856
1 9 87420489 27177289 45865289

当次数大于3时，只有 $a=2$ 可能小于 $varphi(p)$，特判一下就好了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll a, b, p;
int table[10] = {1, 2, 4, 16,65536};

ll qpow(ll a, ll b, ll p)
{
    a = a%p;
    ll ret = 1%p;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret = ret*a%p;
        a = a*a%p;
        b >>= 1;
    }
    return ret%p;
}

ll euler_phi(ll n)
{
    ll m = (ll)sqrt(n + 0.5);
    ll ans = n;
    for (ll i = 2; i <= m; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)  n /= i;        //除尽
        }
    }
    if (n > 1)  ans = ans / n * (n - 1);    //剩下的不为1,也是素数
    return ans;
}

ll f(ll p, ll t)
{
    //printf("%lld %lld
", p, t);
    if(t == 1)  return a%p;
    if(t == 2)  return qpow(a, a, p);
    if(t == 0)  return 1%p;
    if(p == 1)  return 0;
    ll phip = euler_phi(p);
    if(p % a == 0)  //t >= 3，若出现第二种情况，a只能为2
    {
        if(a == 2 && t <= 4 && table[t-1] < phip)
            //return qpow(a, f(p, t-1), p);
            return table[t]%p;
    }
    return qpow(a, f(phip, t-1)+phip, p);  //第一类和第三类
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &p);
        printf("%lld
", f(p, b));
    }
    return 0;
}

参考链接：https://blog.csdn.net/qq_35914587/article/details/79883547