题目
设函数
$$log_a*(x) = egin{cases}
-1, & ext{ if } x < 1 \
1+log_a*(log_ax) & ext{ if } x geq 1
end{cases}$$
求最小的正整数 $x$，使得 $log_a*(x) geq b$
分析
通过将递归式展开，展开 $b$ 次等于1，所以 $x$ 为 $a^{a^{a^{...}}}$（共 $b$ 次）
由欧拉降幂公式
$$a^b= egin{cases} a^{b \% varphi(p)} & gcd(a,p)=1 \ a^b & gcd(a,p) eq 1,b < varphi (p) \ a^{b\% varphi (p) + varphi (p)} & gcd(a,p) eq 1,b geq varphi (p) end{cases}$$
用这个公式，需要讨论 $b$ 与 $varphi(p)$ 的大小关系，很麻烦。
看网上的博客，有一种精妙的方法，只需重写 Mod 函数，就能当作 $a$ 与 $p$ 互素处理。证明见 博客。
要点：
- 快速幂和cal函数都要换成Mod；
- 最终答案需要模p
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll a, b, p; ll Mod(ll x, ll mod) { return x < mod ? x : x % mod + mod; } ll euler_phi(ll n) { ll m = (ll)sqrt(n + 0.5); ll ans = n; for (ll i = 2; i <= m; i++) { if (n % i == 0) { ans = ans / i * (i - 1); while (n % i == 0) n /= i; //除尽 } } if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1); //剩下的不为1,也是素数 return ans; } ll qpow(ll a, ll b, ll p) { ll ret = 1; while(b) { if(b&1) ret = Mod(ret * a, p); a = Mod(a * a ,p); b >>= 1; } return ret; } ll cal(ll a, ll b, ll p) //a^a^a..^a共b次 { // printf("%lld %lld ", t, p); //if(t == 1) return Mod(a, p); if(b == 0) return Mod(1, p); if(p == 1) return Mod(a, p); ll phip = euler_phi(p); return qpow(a, cal(a, b-1, phip), p); //第一类和第三类 } int main() { int T; scanf("%d", &T); while(T--) { scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &p); printf("%lld ", cal(a, b, p) % p); //这个取模不能少 } return 0; }
之前写了一种需要讨论 $b$ 与 $varphi(p)$ 大小的，
因为模数 $p leq 1e6$，可以找找 $b$ 小于 $varphi(p)$ 的情况
打表发现，
1 2 4 16 65536 1 3 27 97484987 739387 1 4 256 6084096 61392896 1 5 3125 8203125 8203125 1 6 46656 63878656 38438656 1 7 823543 70132343 33172343 1 8 16777216 21126656 19449856 1 9 87420489 27177289 45865289
当次数大于3时，只有 $a=2$ 可能小于 $varphi(p)$，特判一下就好了。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll a, b, p; int table[10] = {1, 2, 4, 16,65536}; ll qpow(ll a, ll b, ll p) { a = a%p; ll ret = 1%p; while(b) { if(b&1) ret = ret*a%p; a = a*a%p; b >>= 1; } return ret%p; } ll euler_phi(ll n) { ll m = (ll)sqrt(n + 0.5); ll ans = n; for (ll i = 2; i <= m; i++) { if (n % i == 0) { ans = ans / i * (i - 1); while (n % i == 0) n /= i; //除尽 } } if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1); //剩下的不为1,也是素数 return ans; } ll f(ll p, ll t) { //printf("%lld %lld ", p, t); if(t == 1) return a%p; if(t == 2) return qpow(a, a, p); if(t == 0) return 1%p; if(p == 1) return 0; ll phip = euler_phi(p); if(p % a == 0) //t >= 3，若出现第二种情况，a只能为2 { if(a == 2 && t <= 4 && table[t-1] < phip) //return qpow(a, f(p, t-1), p); return table[t]%p; } return qpow(a, f(phip, t-1)+phip, p); //第一类和第三类 } int main() { int T; scanf("%d", &T); while(T--) { scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &p); printf("%lld ", f(p, b)); } return 0; }
参考链接：https://blog.csdn.net/qq_35914587/article/details/79883547