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  • 二次剩余理论

    定义:设 $m$ 是正整数 若同余式

    $$x^2 equiv a(mod p),  (a, p)=1$$

    有解,则 $a$ 叫做模 $p$ 的二次剩余(或平方剩余);否则,$a$ 叫做模 $p$ 的二次非剩余。

    欧拉判别条件

    设方程

    $$x^2 equiv a (mod p), (a,p)=1,p为奇素数$$

    (i) $a$ 是模 $p$ 的二次剩余的充分必要条件是

    $$a^{frac{p-1}{2}} equiv 1(mod p)$$

    (ii) $a$ 是模 $p$ 的二次非剩余的充分必要条件是

    $$a^{frac{p-1}{2}} equiv -1(mod p)$$

    并且当 $a$ 模 $p$ 的二次剩余时,同余式有两个解。

    定理1:$x^2 equiv a(mod p)$ 中有 $frac{p-1}{2}$ 个 $a$ 能使得方程有解

    也就说有 $frac{p-1}{2}$ 的二次剩余。

    例如,1,2,4是模7的二次剩余,-1,3,5是模4的二次非剩余。

     勒让德(Lagendre)符号

    设 $p$ 是素数,定义如下:

    $$left({nover p} ight)=egin{cases}1, p不是n的倍数,n是p的二次剩余\-1, p不是n的倍数,n是p的二次非剩余(不是二次剩余就是非剩余)\0, p是n的倍数
                                             end{cases}$$

    有定理1知,$p-1$ 中有一半为1,一半为-1.

    根据欧拉判别法则,设 $p$ 是奇素数,对任意整数 $a$,

    $$(frac{a}{p}) equiv a^{frac{p-1}{2}} (mod p)$$

    二次互反律:若 $p, q$ 是互素奇素数,则

    $$(frac{q}{p}) = (-1)^{frac{p-1}{2}cdot frac{q-1}{2}}(frac{p}{q})$$

    参考链接:https://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52033204

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lfri/p/11511979.html
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