分治法求多项式的值

问题：设多项式 $A(x) = a_0 + a_1x + ...+a_{n-1}x^{n-1}$，求多项式在某点的值。

分析：

将多项式按奇偶分类：

设 $A_{even}(x)$ 为偶数项系数构造的多项式，$A_{odd}(x)$ 为奇数项系数的多项式

$egin{aligned}
A(x) &= a_0 + a_1x + ...+a_{n-1}x^{n-1} \
&= A_{even}(x^2) + x*A_{odd}(x^2) \
&= (a_0+a_2x^2+a_4x^3+...+a_{n-2}x^{n-2}) + x*(a_1+a_3x^2 + a_5x^3+...+a_{n-1}x^{n-2})
end{aligned}$

例如：

设 $A_{even}(x) = 1+3x$，$A_{odd}(x) = 2+x$

$egin{aligned}
A(x) &= 1+2x+3x^2+x^3 \
&= A_{even}(x^2) + x*A_{even}(x^2) \
&= (1+3x^2) + x*(2+x^2)
end{aligned}$

容易写出如下的递归程序：

int a[100] = {1, 3, 2, 1};

int f(int* a, int siz, int x)
{
    if(siz == 1)  return a[0];
    int b[100],c[100];
    int b_cnt = 0, c_cnt = 0;
    for(int i = 0;i < siz;i++)
    {
        if(i&1) c[c_cnt++] = a[i];
        else  b[b_cnt++] = a[i];
    }
    return f(b, b_cnt, x*x) + x*f(c, c_cnt, x*x);
}
//f(a, 4, 2)  //x=2时的值

进一步思考，可以发现b、c数组并不是必须的，

我们只是按间隔取a数组，递归层次增加，间隔也随之增加即可。

int ff(int start, int end, int siz, int x)
{
    int len = (1<<siz) - 1;     //间隔长度
    if(start+len >= end && start <= end)  return a[start];  //只有一项时

    return ff(start, end-len-1, siz+1, x*x) + x*ff(start+len+1, end, siz+1, x*x);
}

根据规律，例如蝴蝶效应，也可以写成非递归形式。

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[100] = {1, 3, 2, 1};

int f(int* a, int siz, int x)
{
    if(siz == 1)  return a[0];
    int b[100],c[100];
    int b_cnt = 0, c_cnt = 0;
    for(int i = 0;i < siz;i++)
    {
        if(i&1) c[c_cnt++] = a[i];
        else  b[b_cnt++] = a[i];
    }
    return f(b, b_cnt, x*x) + x*f(c, c_cnt, x*x);
}

int ff(int start, int end, int siz, int x)
{
//    for(int i = start;i < end;i += (1 << siz))  printf("%d ", a[i]);
//    printf("
");
    int len = (1<<siz) - 1;     //间隔长度
    if(start+len >= end && start <= end)  return a[start];

    return ff(start, end-len-1, siz+1, x*x) + x*ff(start+len+1, end, siz+1, x*x);
}

int main()
{
    printf("%d
", f(a, 4, 2));
    printf("%d
", ff(0, 4, 0, 2));
}