对数、底函数和顶函数、阶乘和二项式系数

对数

对数中一个有用的底数是 $e$，其定义为

$e = lim_{n o infty}(1+frac{1}{n})^n = 1 + frac{1}{1!} + frac{1}{2!} + ... = 2.718281828$

通常把 $log_ex$ 写成 $lnx$，成为 $x$ 的自然对数，自然对数也定义为

$$ln x = int _1^xfrac{1}{t}dt$$

换底公式：

      $log_ax = log_ab * log_bx$ 或 $log_ax = frac{log_bx}{log_ba}$.

一个重要的等式：

      $x^{log_ay} = y^{log_ax}, x,y>0$.

可以通过两边取对数来证明。

底函数和顶函数

用 $left lfloor x ight floor$ 来表示小于等于 $x$ 的最大整数，用 $left lceil x ight ceil$ 表示大于等于 $x$ 的最小整数，例如

$left lfloor sqrt 2 ight floor = 1, left lceil sqrt2 ight ceil = 2, left lfloor -2.5 ight floor = -3, left lceil -2.5 ight ceil = -2$.

一些重要的等式：

当 $x$ 为整数时，$left lfloor x ight floor + left lceil x ight ceil = x$.

当 $x$ 为实数时，$left lfloor -x ight floor = -left lfloor x ight floor$；

当 $x$ 为实数时，$left lceil -x ight ceil = - left lceil x ight ceil$.

一个很有用的定理：

定理：$f(x)$ 是单调递增函数，使得若 $f(x)$ 是整数，则 $x$ 是整数。那么

$$left lfloor f(left lfloor x ight floor) ight floor = left lfloor f(x) ight floor 或 left lceil f(left lceil x ight ceil) ight ceil = left lceil f(x) ight ceil$$.

例如：$left lceil sqrt{left lceil x ight ceil} ight ceil = left lceil sqrt x ight ceil$，$left lfloor log {left lfloor x ight floor} ight floor = left lfloor log x ight floor$.

从这个定理出发得出，当 $n$ 是整数时， $left lfloor left lfloor x ight floor /n ight floor = left lfloor x/n ight floor$ 且 $left lceil left lceil x ight ceil/n ight ceil = left lceil x/n ight ceil$.

例如，如果令 $x=n/2$，那么

$$left lfloor left lfloor left lfloor n/2 ight floor/2 ight floor/2 ight floor = left lfloorleft lfloor n/4 ight floor /2 ight floor = left lfloor n/8 ight floor$$.

阶乘

$n!$ 有一个近似公式是 String公式：

$$n! approx sqrt{2pi n}(frac{n}{e})^n$$

例如用 String 公式，可以得到 $30! approx 2.64e32$.

相对误差大约是0.27%，但是绝对误差还是很大的。

二项式系数

由二项式定理，

$$(1+x)^n = sum_{i=1}^ninom{n}{i}x^i$$

如果令 $x=1$，就有

$$inom{n}{0} + inom{n}{1} + ... + inom{n}{n} = 2^n$$

从组合的角度讲，这个恒等式表明在一个大小为 $n$ 的集合中，所有子集的个数为 $2^n$，这和我们的预期一样。

如果令 $x=-1$，有

$$inom{n}{0} - inom{n}{1} + inom{n}{2}-...pm inom{n}{n} = 0$$

这表明奇数项的组合数数之和等于偶数项的组合数之和，即 $sum_{j even}inom{n}{j} = sum_{j odd}^ninom{n}{j}$.

如果分别令 $n=1,2,3...$，可以得到下面的展开式：$(1+x) = 1+x, (1+x)^2 = 1+2x+x^2, (1+x)^3 = 1+3x+3x^2+x^3$，等等。取系数，就得到了杨辉三角，

               1
           1       1
       1        2        1
    1      3        3        1
  1     4      6         4      1
1    5      10    10       5      1

可以看到，$b$足够大时，二项式系数是数 $(1+b)^n$ 用 $b$ 进制表示时各位上的数字。例如，10为基数，有 $11^0=1, 11^2 = 121, 11^3 = 1331, 11^4 = 14641$.