什么是佩尔方程
$$x^2-Dy^2 = 1, D in mathbb{N}^+$$
佩尔方程的解
如果 $D$ 是完全平方数，则方程只有平凡解： $(pm 1, 0)$.
如果 $D$ 不是平方数，设 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 是上述方程的两个解，那么 $(x_1x_2 + y_1y_2*D, x_1y_2, x_2y_1)$ 也是方程的一组解。
则方程解的递推式为：
$$egin{cases}
x_n = x_{n-1}*x_1 + y_{n-1}*y_1*D & \
y_n = x_{n-1}*y_1 + y_{n-1}*x_1 &
end{cases}$$
规模较大时，可以打表或者矩阵快速幂解决。
最小特解
由上面递推的方法知，需要先求得一组特解。
可以暴力枚举，也可以用连分数法。
| n | x | y | n | x | y | n | x | y |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | - | - | 33 | 23 | 4 | 65 | 129 | 16 |
| 2 | 3 | 2 | 34 | 35 | 6 | 66 | 65 | 8 |
| 3 | 2 | 1 | 35 | 6 | 1 | 67 | 48842 | 5967 |
| 4 | - | - | 36 | - | - | 68 | 33 | 4 |
| 5 | 9 | 4 | 37 | 73 | 12 | 69 | 7775 | 936 |
| 6 | 5 | 2 | 38 | 37 | 6 | 70 | 251 | 30 |
| 7 | 8 | 3 | 39 | 25 | 4 | 71 | 3480 | 413 |
| 8 | 3 | 1 | 40 | 19 | 3 | 72 | 17 | 2 |
| 9 | - | - | 41 | 2049 | 320 | 73 | 2281249 | 267000 |
| 10 | 19 | 6 | 42 | 13 | 2 | 74 | 3699 | 430 |
| 11 | 10 | 3 | 43 | 3482 | 531 | 75 | 26 | 3 |
| 12 | 7 | 2 | 44 | 199 | 30 | 76 | 57799 | 6630 |
| 13 | 649 | 180 | 45 | 161 | 24 | 77 | 351 | 40 |
| 14 | 15 | 4 | 46 | 24335 | 3588 | 78 | 53 | 6 |
| 15 | 4 | 1 | 47 | 48 | 7 | 79 | 80 | 9 |
| 16 | - | - | 48 | 7 | 1 | 80 | 9 | 1 |
| 17 | 33 | 8 | 49 | - | - | 81 | - | - |
| 18 | 17 | 4 | 50 | 99 | 14 | 82 | 163 | 18 |
| 19 | 170 | 39 | 51 | 50 | 7 | 83 | 82 | 9 |
| 20 | 9 | 2 | 52 | 649 | 90 | 84 | 55 | 6 |
| 21 | 55 | 12 | 53 | 66249 | 9100 | 85 | 285769 | 30996 |
| 22 | 197 | 42 | 54 | 485 | 66 | 86 | 10405 | 1122 |
| 23 | 24 | 5 | 55 | 89 | 12 | 87 | 28 | 3 |
| 24 | 5 | 1 | 56 | 15 | 2 | 88 | 197 | 21 |
| 25 | - | - | 57 | 151 | 20 | 89 | 500001 | 53000 |
| 26 | 51 | 10 | 58 | 19603 | 2574 | 90 | 19 | 2 |
| 27 | 26 | 5 | 59 | 530 | 69 | 91 | 1574 | 165 |
| 28 | 127 | 24 | 60 | 31 | 4 | 92 | 1151 | 120 |
| 29 | 9801 | 1820 | 61 | 1766319049 | 226153980 | 93 | 12151 | 1260 |
| 30 | 11 | 2 | 62 | 63 | 8 | 94 | 2143295 | 221064 |
| 31 | 1520 | 273 | 63 | 8 | 1 | 95 | 39 | 4 |
| 32 | 17 | 3 | 64 | - | - | 96 | 49 | 5 |
这是一些最小解，
如果取使得 $x$ 单调递增的 $D$组成序列，就是 OEIS:A033316.
佩尔方程的变形
1、$x^2-ny^2=-1$
可以两边平方：
$(x^2-ny^2)^2 = (-1)^2$
$(x^2+ny^2) - n*(2xy)^2 = 1$
此外，使得方程有解的 $n$ 的序列：
OEIS A031396: 1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37...
2、$x^2 - ny^2 = pm 2$
同样平方得：$(x^2+ny^2)-n(2xy)^2 = 4$.
因为 $ny^2 = x^2 pm 2$， 代入，$(x^2 pm 1)^2 - n(xy)^2=1$.
3、佩尔型方程
$x^2-ny^2=1$
附：
一个在线解佩尔方程的网站：http://www.numbertheory.org/php/pell.html
参考链接：
1. https://blog.csdn.net/alusang/article/details/81266923#commentsedit