LA 4998简单加密游戏 —— 自相似性质&&不动点迭代

题意

输入正整数 $K_1$（$K_1 leq 50000$），找一个12为正整数 $K_2$（不能含有前导0）使得 ${K_1}^{K_2} equiv K_2(mod {10}^{12})$。例如 $K_1=99$，$K_2=817 245 479 899 $.

分析

1、利用自相似性质

如果 ${K_1}^{K_2} equiv K_2(mod {10}^{12})$，那么有 ${K_1}^{K_2 \% {10}^i} equiv K_2\% {10}^i(mod {10}^{i}), i leq 12$.

因此可以dfs从后往前一位一位得到。

考虑到不能含有前导0，可以求到13位，并要求大于等于1e12，答案再模1e12，这样就不会出现前导0.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod = 1e12;
ll K1, K2;
ll w[15], ans;

ll quickmul(ll a,ll b,ll mod) {
    ll ite = (1LL<<20)-1;
    return (a*(b>>20)%mod*(1ll<<20)%mod+a*(b&(ite))%mod)%mod;
}

ll qpow(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ret = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)  ret = quickmul(ret, a, mod);
        a = quickmul(a, a, mod);
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}


bool dfs(int cur, ll now)
{
    if(cur == 13)
    {
        if(now >= w[12]){ans = now; return true;}
        return false;
    }
    ll W = w[cur];
    for(int i = 0;i <= 9;i++)
    {
        ll tmp = W*i + now;
        if(qpow(K1, tmp, W) == (tmp%W))
        {
            if(dfs(cur+1, tmp))  return true;
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    int kase = 0;
    w[0] = 1;
    for(int i = 1;i < 15;i++)  w[i] = w[i-1] * 10;
    while(scanf("%lld", &K1) == 1 &&K1)
    {
        dfs(0, 0);
        printf("Case %d: Public Key = %lld Private Key = %lld
", ++kase, K1, ans%mod);
    }
}

2、不动点迭代

初始时随机选取一个超过10^12的数，如1000000000007，将其代入计算，如果f(x)!=x，那么令x=f(x)，如此循环，能在短时间内找出合法解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;


typedef long long ll;
const ll mod = 1e12;
ll K1, K2;

ll quickmul(ll a,ll b,ll mod) {
    ll ite = (1LL<<20)-1;
    return (a*(b>>20)%mod*(1ll<<20)%mod+a*(b&(ite))%mod)%mod;
}

ll qpow(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ret = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)  ret = quickmul(ret, a, mod);
        a = quickmul(a, a, mod);
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}


int main()
{
    int kase = 0;
    while(scanf("%lld", &K1) == 1 &&K1)
    {
        K2 = 1e11+7;
        while(qpow(K1, K2, mod) != K2%mod)  K2 = qpow(K1, K2, mod);
        printf("Case %d: Public Key = %lld Private Key = %lld
", ++kase, K1, K2);
    }
}

参考链接：

1. http://www.bubuko.com/infodetail-587732.html

2. https://blog.csdn.net/w4149/article/details/77750279