在线性代数中，哈密尔顿–凯莱定理（英语：Cayley–Hamilton theorem）表明每个布于任何交换环上的实或复方阵都满足其特征方程。
明确地说：设$A$为给定的$n imes n$矩阵，并设$I_n$为$n imes n$单位矩阵，则$A$的特征多项式定义为：
$f(lambda) = det(lambda I_n - A)$，其中$det$为行列式函数。
哈密尔顿-凯莱定理断言：$f(A) = O$
例如，
考虑下述方阵：
$A=left[egin{array}{ll} 1 & 2 \ 3 & 4 end{array} ight]$
其特征多项式为
$p(lambda)=left|egin{array}{cc} lambda-1 & -2 \ -3 & lambda-4 end{array} ight|=(lambda-1)(lambda-4)-2 cdot 3=lambda^{2}-5 lambda-2$
此时，可以直接验证哈密尔顿-凯莱定理：
$A^{2}-5 A-2 I_{2}=O$
可用来求$A^k$
其实，反过来，
设$A$为方阵，$f(A)=0 Rightarrow f(lambda ) = 0$.
例如，
$A^{2}-5 A-2 I_{2}=O$
$ecause Ax = lambda x$
$ecause A^2x = Alambda x = lambda Ax = lambda ^2 x$
$ herefore (A^{2}-5 A-2 I_{2})x = lambda ^2x - 5lambda x - 2x = (lambda ^2 - 5lambda -2)x$
$ecause (lambda ^2 - 5lambda -2)x = 0, x eq 0$
$ herefore lambda ^2 - 5lambda -2 = 0$
可用来求特征值