Prim算法解决最小生成树

一、最小生成树问题

什么是最小生成树问题？给你一个带权连通图，需要你删去一些边，使它成为一颗权值最小的树。

二、Prim算法

1）输入：输入一个带权连通图，顶点集合V，边集合E

2）初始化：Vnew={x},x为任意一个顶点，作为起始点，Enew={},为空

3）在集合E中选择权值最小的边<u,v>,其中u为集合Vnew中的顶点，而v不在集合Vnew中但在V中，（若有多条满足条件且权值相同时，可任选其中一条）

4）将v收录集合Vnew中，将<u,v>收录Enew中

5）重复步骤4、5，直到所有的顶点都被收录到Vnew中

6）输出：输出由Vnew和Enew所描述的最小生成树

证明：

这就是一个朴素的贪心，我们只需证明这种贪心策略是正确的。先看一下这个性质：

 MST性质：：设G=(V，E)是一个连通网络，U是顶点集V的一个真子集。若(u，v)是G中一条“一个端点在U中(例如：u∈U)，另一个端点不在U中的边(例如：v∈V-U)，且(u，v)具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边(u，v)。

假如通过其他途径，已经得到一颗不包含（u，v）的最小生成树，那么把（u,v）加入到这棵生成树，必定成环，由于在某点没有选（u,v），则必定可以在环上找到一个权值不小于（u，v）的边，删去此边，用（u，v）代替，仍是一颗最小生成树且总权值更小。所以由反证法知，一定存在一棵最小生成树包含（u,v）。所以可以通过每次选择符合条件的权值最小边，来得到其中一种最小生成树。

三、算法实现

思路：这里用邻接矩阵A存储图（因为Prim适合稠密图，时间复杂度一般为O(n^2)），用数组lowcost[MAXN]记录未收录顶点到Vnew的最小费用，用vis[MAXN]记录是否已收录。

1）任取一顶点s,收录到Vnew中（这里简化为vis[s] = true）

2) 初始化，将lowcost[x]初始化为到s的费用

将下列步骤进行n-1次

3）找到最小的lowcost[x]

4）若没有找到符合条件的最小lowcost[x],跳出循环

5）将x收录到Vnew

6)  更新lowcost[ ]  (因为新收录的顶点可能影响lowcost)

7）若有顶点未被收录，说明图不连通

代码：

#include<cstdio>
#include<stdbool.h>
#include<vector>
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 100 + 10;
bool vis[MAXN];
int lowcost[MAXN];
int cost[MAXN][MAXN];
//点是从0 ~ n-1
//耗费矩阵cost[][] 
int Prim(int cost[][MAXN], int s, int n)
{
    int ans = 0;
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    vis[s] = true;
    for (int i = 0; i < n; i++)  lowcost[i] = cost[s][i];
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int minc = INF;
        int pos = -1;
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            if (!vis[j] && lowcost[j] < minc)
            {
                minc = lowcost[j];
                pos = j;
            }
        }
        if (i < n - 1 && pos < 0)  return -1;
        vis[pos] = true;
        ans += minc;
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            if (!vis[j] && cost[pos][j] < lowcost[j])
                lowcost[j] = cost[pos][j];
        }
    }
    return ans;
}

四、算法优化

据说可以用二叉堆、斐波那契堆等，先给自己挖一个坑，日后再补吧。