初等数论初步——费马小定理与欧拉定理

欧拉定理和费马小定理有许多重要的应用，常见的我们可以用它来化简计算

费马小定理是欧拉定理的特例

一、费马小定理

　　　　　　　　　　

证明：

由(a,m) = 1,知m不是a的素因数；又因为m不是1、2、3...m-1的素因数，所以a，2a，3a...(m-1)a都不能被m整除

又因为a，2a，3a...(m-1)a两两不同余（假设pa≡qa(mod m) <==> m|a(p-q),而(a,m)=1,p-q < m,不可能被整除），

所以它们分别属于模m中除[0]以外的m-1个剩余类中，即存在某种一一映射

[1] = [aa1],[2]=[aa2]......,其中a1,a2...am-1互不相同且属于1~m-1

由同余的性质一知，aa1*aa2*...*aam-1 = a^(m-1) *(m-1)!≡(m-1)!(mod m)

由于m为素数,((m-1)!,m) = 1

由同余的性质二，两边消去(m-1)!,得a^(m-1)≡1(mod m)

二、欧拉定理

　　　　　　　　　　

证明：

记φ(m)=r,用a1,a2....ar表示1,2...m-1中于m互素的数

因为(a,m)=1,且a1,a2...ar都是于m互素的数，所以aa1,aa2....aar于m均是互素

易知，aa1,aa2....aar分属于r个不同的剩余类(可参考费马大定理的说明)

(aa1,m)=1 <==> (aa1modm,m)=1 <==> aa1modm是一个与m互素的数，在a1,a2...ar中

这样也能建立起某种一一映射

由同余的性质一得aa1*aa2*...*ar≡a1*a2...*ar(mod m)，即a^r*(a1a2...ar)≡a1a2...ar(mod m)

又因为a1,a2...ar都与m互素，由同余得性质二，a^r≡1(mod m),即a^φ(m)≡1(mod m)