动态规划初步--城市里的间谍

一、题目

某城市的地铁是线性的，有n(2 ≤ n ≤ 50)个车站，从左到右编号为1~n。有M1辆车从第一站开始往右开，还有M2辆从第n站开始往左开。在时刻0，Mario从第一站出发，目的是在T时刻会见在n站的一个间谍。要求其在车站的等待时间足够短。

二、解题思路

状态由当前时间和当前所在站决定，我们可以用dp[i][j]表示在时刻t，第i站最少还需要等待的时间。易只T时刻的情况容易确定，

dp[T][j] = (j == n ? INF : 0)，而T时刻之前的dp值，可以由T时刻及其之后的决定。

即dp[i][j] = max(dp[i][j] + 1,dp[i + t[j]][j + 1],dp[i + t[j - 1][j - 1]]) (加入三种选择都存在时)

根据状态转移方程和边界值，我们就可以从下至上填满整个表格，dp[0][1]就是要求的。

三、代码实现

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdbool.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 50 + 10;
const int maxt = 200 + 10;
int n, T, cost_time[maxn],M1,M2;
int dp[maxt][maxn];  //dp[t][i]表示在时刻t，第i站最少还需要等待的时间
int has_train[maxt][maxn][2];  //has_train[i][j][0]表示i时刻，在j车站有开往左的火车，has_train[i][j][1]表示i时刻，在j车站有开往右的火车
int kase = 1;

void slove()
{
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++)  dp[T][i] = INF;    //时刻T，在非n的站，是不可能的，把等待时间设置为无穷大
    dp[T][n] = 0;        //时刻T，在第n站，等待时间为0 

    for (int  i = T- 1; i >=  0; i--)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j] + 1;
            if (j < n && has_train[i][j][1] && i + cost_time[j] <= T)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i + cost_time[j]][j + 1]);
            if (j > 1 && has_train[i][j][0] && i + cost_time[j - 1] <= T)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i + cost_time[j - 1]][j - 1]);
        }
    }
    printf("Case Number %d: ", kase++);
    if (dp[0][1] >= INF)  printf("impossible
");
    else  printf("%d
", dp[0][1]);
}

int main()
{
    while (scanf("%d",&n) == 1 && n)
    {
        memset(has_train, 0, sizeof(has_train));        //这里必须清零
        scanf("%d", &T);
        for (int i = 1; i < n; i++)
            scanf("%d", &cost_time[i]);

        scanf("%d", &M1);
        int start;
        for (int i = 0; i < M1; i++)
        {
            scanf("%d", &start);
            int tmp = 0;
            for (int j = 1; j <= n && start + tmp <= T; j++)    //只需考虑T之内的
            {
                has_train[start + tmp][j][1] = true;
                if(j != n)  tmp += cost_time[j];        //cost_time不能取到n
            }
        }

        scanf("%d", &M2);
        for (int i = 0; i < M2; i++)
        {
            scanf("%d", &start);
            int tmp = 0;
            for (int j = n; j >= 1 && start + tmp <= T; j--)
            {
                has_train[start + tmp][j][0] = true;
                tmp += cost_time[j - 1];
            }
        }
        
        slove();
    }
    return 0;
}

四、经验

ctime变量与标准库里自带的冲突了；之前数组开小了，导致Runtime error。