初等数论初步——一次同余方程

一、一次同余式的概念

通常，我们把含有未知数的同余式叫做同余式方程。

一类形式最简单的同余方程是一次同余方程，一般形式为ax≡b(mod n),其中n为正整数，a,b为整数且a不为0.

二、一次同余方程的解的情况

1、是否有解

2、有多少解

3、有解的情况下如何描述解

1º 先讨论特殊情况，即(a,n) = 1的情形

(a,n) = 1 <==> 存在整数k,l,是的ak + nl = 1 <==> n | nl = 1 - ak <==> ak≡1(mod n)

因此，ax≡b(mod n) <==> ax≡b(ak) = a(bk)(mod n) <==> x≡kb(mod n)

因此，这个同余方程有且只有一个解x≡kb(mod n)

2º 再讨论(a,n)  = d> 1的情形

若同余方程有解，不妨设x≡c(mod n),则ac≡b(mod n),从而n | ac - b

(a,n)  = d <==> d | a,d | n <==> d | ac,又有n | ac - b <==>d | ac - b

从而d | ac - (ac - b) = 1,这表明上述的同余方程有解时，必有d | b.

那么当d | b时，同余方程是否一定有解呢？

记a = a’d,b= b’d,n = n’d,则(a’,n’)=1,注意到

　　ax≡b(mod n) <==> n | ax - b <==> n’d | (a’x - b’)d <==> n’ | (a’x - b’),于是同余方程可以化简为a’x≡b’(mod n) (*)

根据情况一，(a’,n’) = 1,同余方程(*)有唯一解x≡k’b’(mod n’)

此时x = k’b’ +  n’l,l为任意整数对l，d用带余除法：l = dq + r,0≤r≤d-1,q为整数，于是

x = k’b’ +  n’l = k’b’ +  n’(dq + r) = k’b’ + nq + n’r,所以x≡k’b’ + n’r(mod n),r = 0,1,...,d-1

于是得出结论：

三、求解一种特殊的一次同余方程：大衍求一术

大衍求一术是求解同余方程ax≡1(mod n)，其中a为正整数，a<n且(a,n)= 1的一种算法程序。

(1)算法步骤：

先规定k₁=1,r₁=a

对n、k用带余除法:  n = r₁q₂+r₂,记k₂=-q₂k₁;

对a、r₂用带余除法：a = r₂q₃+r₃,记k₃=k₁-q₃k₂；

对r₂、r₃用带余除法：r₂ = r₃q₄+r₄,记k₄=k₂-q₄k₃；

 对r₃、r₄用带余除法：r₃ = r₄q₅+r₅,记k₅=k₃-q₅k₄；

......

重复这种计算，知道余数r_n=1,那么最后所得k_n=k_n-2 - q_nk_n-1满足ak_n≡1(mod n)

于是x≡k_n(mod n)就是一次同余方程ax≡1(mod n)的解

(2)算法原理

r₁=a = ak₁(mod n)

r₂=n - r₁q₂≡a(- q2k₁) = ak₂(mod n)

r₃=r₁ - r₂q₃≡a(k₁ - q₃k₂) = ak₃(mod n)

 r₄=r₂ - r₃q₄≡a(k₂ - q₄k₃) = ak₄(mod n)

......

而r₁ = 1，故ak_n ≡ 1(mod n),这就是大衍求一术的原理了