模运算——大整数取模、幂取模等

一、加法、减法、乘法取模

int add_mod(int a, int b, int p)
{
    a %= p; b %= p;
    return (a + b) % p;
}

int sub_mod(int a, int b, int p)
{
    a %= p; b %= p;
    return (a - b + p) % p;                //a mod n可能小于b mod n，需要在结果加上n
}

LL mul_mod(LL a, LL b, LL p)
{
    a %= p; b %= p;
    return a * b % p;    //a mod n和b mod n的乘积可能超LL
}

二、大整数取模

求n mod m 的值，(n ≤10¹⁰⁰,m ≤10⁹)

思路：首先，将大整数根据秦九韶公式写成“自左向右”的形式：4351 = ((4 * 10 + 3) * 10 + 5) * 10 + 1,然后利用模的性质，逐步取模。

const int maxn = 100 + 10;
char n[maxn];
int m;

int biginteger_mod(char* n, int m)
{
    int len = strlen(n);
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i < len;i++)
        ans = (int)(((long long)ans * 10 + n[i] - '0') % m);
    return ans;
}

三、幂取模

直接暴力写是O(n),较快的方法是分治法，时间复杂度是O(logn)

求aⁿ mod m 的值,

LL pow_mod(LL a, LL n, LL m)
{
    if (n == 0)  return 1;
    LL ans = pow_mod(a, n / 2, m);
    ans = ans * ans % m;
    if (n % 2)  ans = ans * a % m;
    return ans;
}