枚举排列

排列

在暴力求解中，常常通过枚举所有的可能排列来得到答案，所有如何生成所有的排列也就十分重要。

生成1~n的排列

采用递归的思想，从前往后逐位进行考虑。

//1~n的全排列（字典序）
void permutation(int n, int *A, int cur)
{
    if (cur == n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)  printf("%d%c", A[i], i == n - 1 ? '
' : ' ');
    }
    else for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int ok = 1;
        for (int j = 0; j < cur; j++)
            if (A[j] == i)  ok = 0;
        if (ok)
        {
            A[cur] = i;
            permutation(n, A, cur + 1);
        }
    }
}

其实上面这个为了保证字典序，时间复杂度实际变成O(nⁿ)。

可重集的排列

即待排列的数组中有相同的元素，得到所有的排列。

//可重集的排列
//若要字典序，需要保证P有序
void permutation(int n,int *P, int *A, int cur)
{
    if (cur == n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)  printf("%d%c", A[i], i == n - 1 ? '
' : ' ');
    }
    else for (int i = 0; i < n; i++) {
        int c1 = 0, c2 = 0;
        for (int j = 0; j < cur; j++)  if (A[j] == P[i])  c1++;　　//可优化
        for (int j = 0; j < n; j++)  if (P[i] == P[j])  c2++;　　　　//可以预处理
        if (c1 < c2)
        {
            A[cur] = P[i];
            permutation(n, P, A, cur + 1);
        }
    }
}

实际上，若不要求字典序，可将时间复杂度降为O(n!)

//打印出a数组的全排列（非字典序）
void permutation(int *a,int n,int cur)
{
    if (cur == n)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            printf("%d%c", a[i], i == n - 1 ? '
' : ' ');
        return;
    }
    for (int i = 0; i < n - cur; i++) //提取待排数组中的每一个元素
    {
        swap(a[cur], a[cur + i]);　　//第cur个与cur之后的元素交换
        permutation(a,n,cur + 1);
        swap(a[cur], a[cur + i]);　　//还原
    }
}

它还有一些好处，不必开辟存储结果的数组，也可用来生成可重集的排列。

下一个排列

枚举所有排列的另一个方法是从字典序最小的排列开始，不停调用“求下一个排列”的过程。C++的STL中提供了一个库函数next_permutation来求下一个排列。

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 10;
int n, a[maxn];

int main()
{

    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)  scanf("%d", &a[i]);
    sort(a, a + n);　　　　　　　　　　//得到p的最小排列
    do
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)  printf("%d%c", a[i], i == n - 1 ? '
' : ' ');
    } while (next_permutation(a,a + n));  　　//求下一个排列

    return 0;
}