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简单的说，就是作一个圆包含所有的点且与x轴相切，求圆的最小半径

方法一

分析：求最小，对半径而言肯定满足单调性，很容易想到二分。我们二分半径，然后由于固定了与X轴相切，我们对于每一个点，就可以算出这个点在圆上的时候圆与x轴相交的距离（其实就是圆心的x轴的范围）。然后对每个点都可以求一个圆心的横坐标区间，如果所有的区间有相交区域，则该半径满足条件，否则不满足。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100000 + 10;
const double esp = 1e-6;
struct Piont
{
    double x, y;
}p[maxn];
int n;

bool judge(double r)
{
    double ml = -1e15, mr = 1e15;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (p[i].y > 2 * r)  return false;        //大于2倍半径的，肯定不行
        double tmp = sqrt(2 * p[i].y * r - p[i].y * p[i].y);
        if (p[i].x - tmp > ml)  ml = p[i].x - tmp;
        if (p[i].x + tmp < mr)  mr = p[i].x + tmp;
    }
    return ml <= mr;                //所有区间必须要有交点
}

int main()
{
    while (scanf("%d", &n) == 1)
    {
        int flag1 = 0, flag2 = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
            if (p[i].y > 0)  flag1 = 1;
            if (p[i].y < 0)  flag2 = 1;
            if (p[i].y < 0)  p[i].y = -p[i].y;
        }
        if (flag1 && flag2)
        {
            printf("-1
");
            continue;
        }
    
        double l = 0, r = 1e15, mid;        //直接枚举圆的半径，范围大约是1e7的平方
        int cnt = 100;                //二分100次精度足够了
        while (cnt--)                //这里写成(r - l) < esp陷入了死循环。。。
        {
             mid = (r + l) / 2.0;
            if (judge(mid)) r = mid;
            else  l = mid;
        }
        printf("%.10lf
", r);
    }
    return 0;
}

 方法二

分析：设圆心的横坐标为x,由勾股定理有(x-x0)² + (r-y)² = r²,得r = (x-x0)²/2y + y/2,所以R = max(r1,r2,,,rn),也就是说x确定时，R也随之确定。

我们又发现，对于答案所在得X，在它左右走R都会单调递增，形成像山谷那样得形状，那么直接三分X直接找到谷底即可。

具体的三分做法如下：

设答案所在区间为(l,r),dx = (r-l)/3,则mr = r+dx,ml = l-dx。设cal(x)是计算圆心在x时r的值，若cal(ml) < cal(mr),有两种情况，异侧如①，同侧如③，所以将r更新为mr,而不是更新为ml,同理，若cal(ml) > cal(mr),则将l更新为ml。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100000 + 10;
const double esp = 1e-6;
struct Piont
{
    double x, y;
}p[maxn];
int n;

double cal(double x)
{
    double r = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        r = max(r, p[i].y / 2.0 + (x - p[i].x) * (x - p[i].x) / p[i].y / 2.0);
    return r;
}

int main()
{
    while (scanf("%d",&n) == 1)
    {
        int flag1 = 0, flag2 = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
            if (p[i].y > 0)  flag1 = 1;
            if (p[i].y < 0)  flag2 = 1;
            if (p[i].y < 0)  p[i].y = -p[i].y;
        }
        if (flag1 && flag2)
        {
            printf("-1
");
            continue;
        }
        //R=y1/2 + (x-x1)^2/2y,x是圆心坐标，R关于x先减后增
        double l = -1e7, r = 1e7,dx;        //枚举圆的半径,也就是枚举圆心横坐标
        while (r - l > esp)                    //也可改成cnt<100
        {
            dx = (r - l) / 3.0;
            double lx = l + dx, rx = r - dx;
            if (cal(lx) - cal(rx) < 0)  r = rx;
            else  l = lx;
        }
        int tmp = cal(r);
        printf("%.6lf
", cal(r));
    }
    return 0;
}

参考链接：

https://blog.csdn.net/lzc504603913/article/details/82949923

https://blog.csdn.net/qq_37555704/article/details/82949337

http://www.cnblogs.com/sdfzhsz/p/9748360.html

https://blog.csdn.net/winter2121/article/details/82949159?tdsourcetag=s_pctim_aiomsg