一、引言
欧拉回路问题是图论中最古老的问题，诞生于18世纪欧洲的科尼斯堡问题。
二、定义
设(G=(V,E))是一个图。
欧拉回路：图G中经过每条边一次并且仅一次的回路。
欧拉路径：图G中经过每条边一次并且仅一次的路径。
欧拉图：存在欧拉回路的图。
半欧拉图：存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图。
三、性质与定理
假设下面讨论的图G不存在孤立点，否则，先将孤立点从图中删除。
对于无向图：
定理1：无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有定点的度为偶数。
推论1：无向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。
对于有向图：
定理2：有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图连通，且所有顶点的入度等于出度。
推论2：有向图G为半欧拉图，当且仅当G的基图连通，且存在顶点u的入度比出度大1，v的入度比出度小1，其它所有顶点的入度等于出度。
基图：忽略有向图所有边的方向，得到的无向图成为该有向图的基图。
四、求欧拉回路
两种：Hierholzer（套圈）算法和Fluery算法，前者编程简单，时间复杂度更优，后者应用性更广泛，这里不深入分析。
Hierholzer算法：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<set>
using namespace std;
const int N=1025;
multiset<int> h[N];
int degree[N], road[N], k;
void dfs(int x)
{
for(multiset<int>::iterator py=h[x].begin(); py!=h[x].end(); py=h[x].begin()){
int y=*py;
h[x].erase(py); //删边x->y
h[y].erase(h[y].find(x)); //删边x->y
dfs(y); //从y递归
}
road[k++]=x; //往队列里插入答案
}
int main(){
int F, s=0, t=0; //s起点，t终点
scanf("%d", &F);
for(int i=1, a, b; i<=F; i++) scanf("%d%d", &a, &b), degree[a]++, degree[b]++, h[a].insert(b), h[b].insert(a);
for(int i=1; i<=1024; i++) //注意模板题中栅栏结点的编号范围不是1~F
{
if(degree[i]%2){ //发现奇点
if(!s) s=i;
else if(!t) t=i;
else return 0; //发现奇点超过2个，无欧拉路径
}
}
if(s && !t) return 0; //只有1个奇点，无欧拉路径
if(!s) s=1; //没有奇点，有欧拉回路，指定1为起点
dfs(s);
for(k=k-1; k>=0; k--) printf("%d
", road[k]); //倒序输出答案，也可以不用road数组，使用一个stack
return 0;
}
效率分析：共插入了2E条边，dfs共遍历2E条边。使用multiset可便于快速查找最小值，查找，删除边的复杂度为lgn，故程序时间复杂度为O(Elgn)。