一.决策单调性优化：单调队列/斜率/四边形不等式优化
（1）单调队列与单调队列优化
当一个人比你小还比你强的时候......
单调队列是一种严格单调的队列废话，一般支持两个操作：
- 插入一个新的元素，该元素从~队尾开始向队首进行搜索，找到合适位置插入，并删除之后的数据
- 删除队首元素
这两个操作是单调队列的基本操作，也是我们之后利用单调队列优化dp的时候dp方程的显著特征
一个典型的应用是 滑动窗口：
- Problem1. 滑动窗口
给定 (n) 个整数，求连续 (k) 个数字的和最小是多少。
网上一大堆题解，这里就不具体讲了qwq
时间复杂度分析: 由于每个元素入队和出队一次，所以维护队列的均摊时间复杂度为 (O(1))。
单调队列在动态规划的优化中有着广泛的应用，下面我们来看几道例题：
- Problem2(NOIP 2010) 烽火传递
烽火台又称烽燧，是重要的军事防御设施，一般建在险要或交通要道上。一旦有敌情发生，白天燃烧柴草，通过浓烟表达信息；夜晚燃烧干柴，以火光传递军情，在某两座城市之间有 (n(n leq 10000)) 个烽火台，每个烽火台发出信号都有一定代价。为了使情报准确地传递，在连续 (m (m leq n))个烽火台中至少要有一个发出信号。请计算总共最少花费多少代价，才能使敌军来袭之时，情报能在这两座城市之间准确传递？
- Solution2
考虑dp
废话，设 (f_i) 表示点燃第 (i) 个烽火台所需的最小代价，显然有状态转移方程 (f_i=min{ f_j }+a_i，j=i-m,...,i-1) (ans=min(f_{n-m+1},...,f_n))
暴力转移？时间复杂度 (O(nm))，显然超时
我们继续观察上面这个式子，维护的是连续 (m) 个数中最小的数，就是我们之前 Problem1 中滑动窗口的形式
考虑单调队列优化转移，转移复杂度为 (O(1))，时间复杂度下降为 (O(n))
感觉单调队列优化是不是一般都会讲一下多重背包qwq，那这里也讲一下
- Problem4. 单调队列优化多重背包
有 (n) 种物品，每种物品有对应价值 (w_i) ，对应体积 (v_i) ，对应数量 (K_i) ，给出背包体积 $V，求背包可装下的最大价值。
期望复杂度 (O(n imes V))
- Solution3
首先考虑基础的暴力做法，即把多重背包暴力转化为01背包。
记 (f_{i,j}) 表示前 (i) 种物品，剩余背包体积为 (j) 的最大收益，我们的转移方程显然是：
(f_{i,j}=maxlimits_{k}{f_{i-1,j-k imes v_i}+k imes w_i})，其中 (k) 枚举的是当前物品的数量。
然后我们如果固定 (i)，考虑第二维的状态，而且不考虑别的物品的体积，那么这个方程有个显然的等价形式（下面把第一维压掉了）：
(f_{p imes v_i}=maxlimits_{p-c_i leq k leq p-1}{f_{k imes v_i}+(p-k) imes w_i})，其中 (p) 枚举了到现在一共取了多少个，(k) 枚举的是上一次取了多少个。
其实如果考虑其他物品的体积，其实也很容易改，而且这就是单调队列优化多重背包的标准方程，其中 (r) 为其他物品的体积和，也可以理解为“余数”
我也不知道为什么这个框框突然断了，反正继续
观察一下这个式子的形式，我们的 (k) 的取值范围会随着 (p) 的增大而刚好增大，而且上下区间同时 (+1) ，而且是在这个区间里找最值
这是什么？单调队列！
考虑一个决策 (k)，像前面讲的滑动窗口一样，如果它晚一点被考虑到，那么就把他放着
但是如果有一个决策比他晚而且比他优，那他就没用了，直接出队，维护一个 (k) 单调递减，(f_{k imes v_i +r}-k imes w_i) 单调上升的单调队列。
（为什么我们要维护 (k) 递减而不是递增呢？因为我们现在是倒序枚举 (k) 来 dp，所以原因跟一维的01背包一样，如果是顺序的话就不用了）
所以我们接下来对每个 (p) 执行这样子的算法流程：
- 检查队头是不是应该在 (k) 现在该在的范围里面，把大于 (p-1) 的决策点出队
- 取队头为最优决策，更新 (f_{p imes v_i+r})
- 把新决策 (k=p-c_i-1)插入队尾，入队前检查队尾单调性
整个算法的期望复杂度为 (O(n imes V))
二.数据结构优化：前缀和/线段树/树状数组优化
咕了。
三.其他优化：滚动数组/矩阵乘法/各式各样的推式子优化
咕了。